Question

如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，有一矩形紙片OABC，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB∥x軸，B（3，），現(xiàn)將紙片按如圖折疊，AD，DE為折痕，∠OAD=30度，折疊后，點(diǎn)O落在點(diǎn)O₁，點(diǎn)C落在線段AB點(diǎn)C₁處，并且DO₁與DC₁在同一直線上。
（1）求C₁的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過三點(diǎn)O，C₁，C的拋物線的解析式；
（3）若⊙P的半徑為R，圓心P在（2）的拋物線上運(yùn)動(dòng)，⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切時(shí)，求⊙P半徑R的值。

Answer 1

解：（1）過點(diǎn)C1作C1F⊥x軸于點(diǎn)F，如圖： 在Rt△ADO中，∠OAD=30°，AO=BC=， OD=tan30°×OA=， 由對(duì)稱性知： ， ∴， ∴， ∴， ∴點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（-2，）； （2）設(shè)經(jīng)過三點(diǎn)O，C1，C的拋物線的解析式是y=ax2+bx+c，則 ，解得， ∴拋物線的解析式為：； （3）∵⊙P與兩坐標(biāo)軸相切， ∴圓心P應(yīng)在第一、三象限或第二、四象限的角平分線上， 即在直線y=x或y=-x上， 若點(diǎn)P在直線y=x上，根據(jù)題意有 ，解之得， ∵R>0， ∴， 若點(diǎn)P在直線y=-x上，根據(jù)題意有 ，解之得， ∵R>0， ∴， ∴⊙P的半徑R為。