Question

【題目】如圖，形如三角板的ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=45°,BC=12cm，形如矩形量角器的半圓O的直徑DE=12cm,矩形DEFG的寬EF=6cm，矩形量角器以2cm/s的速度從左向右運動，在運動過程中，點D、E始終在BC所在的直線上，設運動時間為x（s），矩形量角器和ABC的重疊部分的面積為S(cm2).當x=0(s)時，點E與點C重合.(圖（3）、圖（4）、圖（5）供操作用).

（1）當x=3時，如圖（2），求S， 當x=6時，求S，當x=9時，求S；（直接寫結果）

（2）當3<x<6時,求S關于x的函數關系式；

（3）當6<x<9時,求S關于x的函數關系式；

（4）當x為何值時， ABC的斜邊所在的直線與半圓O所在的圓相切？

Answer 1

【答案】（1）36（cm2），54（cm2），18（cm2）；
（2）當3＜x＜6時，S=-2x2+24x-18；

（3）當6＜x＜9時，S=﹣12x+126；

（4）當x等于（9-3）秒或（9+3）秒時，△ABC的斜邊所在的直線與半圓O所在的圓相切.

【解析】

（1）當x=3時，如圖2根據矩形的面積公式求得S即可；當x=6時，如圖3根據梯形的面積公式求得S即可；當x=9時，如圖4根據三角形的面積公式求得S即可；

（2）如圖5，設矩形DEFG與斜邊AB的交點分別為N、H，與直角邊AC的交點為M，根據S=S△ABC﹣S△AMN﹣S△BHE，將各邊長用含x的式子表示，然后整理即可得到答案；

（3）如圖6，設矩形DEFG與斜邊AB的交點為M，延長FG交AC于點H，根據S=S△ABC﹣S△AHM﹣S矩形HCDG，將各邊長用含x的式子表示，然后整理即可得到答案；

（4）如圖7，圖8，分兩種情況，根據圓的半徑長為6cm，利用勾股定理求得OB的長，即可得到x的值.

解：（1）當x=3時，CE=6cm，

如圖2所示，

則S=CE·EF=6×6=36（cm2），

當x=6時，CE=12cm，

如圖3所示，

∵DG=6cm，AD=12cm，且DQ∥BC，

∴GQ是△ABC的中位線，

則S=（GQ+CE）·GD=（6+12）×6=54（cm2）；

當x=9時，CE=18cm，

如圖4所示，

S=OD·GD=×6×6=18（cm2）；

故答案為：36 cm2，54 cm2，18 cm2；

（2）如圖5，設矩形DEFG與斜邊AB的交點分別為N、H，與直角邊AC的交點為M，

根據題意得：BE=12-2x，AM=12-6=6，

∴S=S△ABC﹣S△AMN﹣S△BHE=×12×12﹣×6×6﹣×（12-2x）2

=﹣2x2+24x-18，

故當3＜x＜6時，S=﹣2x2+24x﹣18；

（3）如圖6，設矩形DEFG與斜邊AB的交點為M，延長FG交AC于點H，

根據題意得：AH=12-6=6，HG=2x-12，

∴S=S△ABC﹣S△AHM﹣S矩形HCDG

=×12×12-×6×6-×6×（2x-12）

=﹣12x+126，

故當6＜x＜9時，S=﹣12x+126；

（4）①如圖7，過點O作OD′⊥AB于點D′，

由題意得OD′=6，

∵∠ABC=45°，∠OD′B=90°，

∴OB=，

∴x==9﹣3（秒）；

②如圖8，過點O作OE′⊥AB，交AB的延長線于點E′，

由題意得OE′=6，

∵∠OBE′=45°，∠OE′B=90°，

∴OB=，

∴x==9+3（秒）；

故當x等于（9﹣3）秒或（9+3）秒時，△ABC的斜邊所在的直線與半圓O所在的圓相切.