Question

（2008•鄂州）如圖，已知：邊長為1的圓內(nèi)接正方形ABCD中，P為邊CD的中點(diǎn)，直線AP交圓于E點(diǎn)．
（1）求弦DE的長．
（2）若Q是線段BC上一動點(diǎn)，當(dāng)BQ長為何值時，三角形ADP與以Q，C，P為頂點(diǎn)的三角形相似？

Answer 1

【答案】分析：（1）過D點(diǎn)作DF⊥AE于F點(diǎn)．則△DEF是等腰直角三角形，根據(jù)△ADP的面積就可以求出DF，則根據(jù)勾股定理得到DE．
（2）△ADP與以Q，C，P為頂點(diǎn)的三角形相似，應(yīng)分Rt△ADP∽Rt△PCQ和Rt△ADP∽Rt△PCQ兩種情況進(jìn)行討論．根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，得到BQ的長．
解答：解：（1）如圖1．過D點(diǎn)作DF⊥AE于F點(diǎn)．
在Rt△ADP中，（1分）
又∵S_△ADP=AD•DP=AP•DF
∴（2分）
∵的度數(shù)為90°
∴∠DEA=45°
∴（4分）


（2）如圖2．
當(dāng)Rt△ADP∽Rt△QCP時有得：QC=1．
即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合
∴BQ=0（5分）
如圖3，當(dāng)Rt△ADP∽Rt△PCQ時，有得
即BQ=BC-CQ=（7分）
∴當(dāng)BQ=0或時，三角形ADP與以點(diǎn)Q，C，P為頂點(diǎn)的三角形相似．（8分）
點(diǎn)評：此題主要考查相似三角形的判定方法，勾股定理及正多邊形與圓的關(guān)系等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用．