Question

如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，已知拋物線y=x²+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），與y軸的交點(diǎn)為B，設(shè)此拋物線的頂點(diǎn)為C．
（1）求b的值和C的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)C₁與C關(guān)于x軸對(duì)稱，求證：點(diǎn)C₁在直線AB上；
（3）在（2）的條件下，在拋物線y=x²+bx+3的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)D，使四邊形OC₁DB是等腰梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y=x²+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），利用待定系數(shù)法即可求得b的值，然后求得此拋物線的解析式，配方，即可求得頂點(diǎn)為C的坐標(biāo)；
（2）由點(diǎn)C₁與C關(guān)于x軸對(duì)稱，即可求得點(diǎn)C₁的坐標(biāo)，又由待定系數(shù)法求得直線AB的解析式，即可證得點(diǎn)C₁在直線AB上；
（3）分為若BD∥OC₁與DC₁∥OB去分析，根據(jù)平行線的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），
∴9+3b+3=0，
解得：b=-4，
∴此拋物線的解析式為：y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴此拋物線的頂點(diǎn)為C的坐標(biāo)為（2，-1）；

（2）∵點(diǎn)C₁與C關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)C₁的坐標(biāo)為（2，1），
∵當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，
∴

b=3 3k+b=0

，
解得：

k=-1 b=3

，
∴直線AB的解析式為：y=-x+3，
∵-2+3=1，
∴點(diǎn)C₁在直線AB上；

（3）存在．
如圖1，若BD∥OC₁，
∵直線OC₁的解析式為：y=

1

2

x，
∴設(shè)直線BD的解析式為：y=

1

2

x+b，
則b=3，
∴直線BD的解析式為：y=

1

2

x+3，
設(shè)點(diǎn)D（a，

1

2

a+3），
∵AB=C₁D，
∴（a-2）²+（

1

2

a+3-1）²=9，
∴a=-

2

5

（不合題意，舍去）或a=2（此題是平行四邊形，舍去）；
如圖2，當(dāng)DC₁∥OB，
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥OB于E，過(guò)點(diǎn)C作FC⊥x軸于F，
∵四邊形OC₁DB是等腰梯形，
∴BE=CF=1，DE=OF=2，
∴CD=OB-2BE=3-2=1，
∴DF=2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）．
故帶D的坐標(biāo)為（2，2）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，等腰梯形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．