Question

已知：∠ACD=90°，MN是過(guò)點(diǎn)A的直線，AC=DC，DB⊥MN于點(diǎn)B，如圖（1）．易證BD+AB=CB，過(guò)程如下：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E
∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．
∵四邊形ACDB內(nèi)角和為360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．
∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．
又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB為等腰直角三角形，∴BE=CB．
又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=CB．

(1)當(dāng)MN繞A旋轉(zhuǎn)到如圖（2）和圖（3）兩個(gè)位置時(shí)，其它條件不變，則BD、AB、CB滿足什么樣關(guān)系式，請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并對(duì)圖（2）給予證明．
(2)MN在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠BCD=30°，BD=時(shí)，則CB=__________．

Answer 1

（1）如圖（2）：AB﹣BD=CB，如圖（3）：BD﹣AB=CB，如圖（2）證明見(jiàn)解析；（2）+1.

試題分析：（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，證明△ACE≌△DCB，則△ECB為等腰直角三角形，據(jù)此即可得到BE= CB，根據(jù)BE=AB﹣AE即可證得；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD于點(diǎn)H，證明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的長(zhǎng)，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，即可求得．
試題解析：（1）如圖（2）：AB﹣BD=CB．
證明：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°﹣∠DCE，∠BCD=90°﹣∠ECD，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°﹣∠AFC，∠D=90°﹣∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE=CB．
又∵BE=AB﹣AE，
∴BE=AB﹣BD，
∴AB﹣BD=CB．
如圖（3）：BD﹣AB=CB．
證明：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°﹣∠AFB，∠D=90°﹣∠CFD，
∵∠AFB=∠CFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE=CB．
又∵BE=AE﹣AB，
∴BE=BD﹣AB，
∴BD﹣AB=CB．
（2）如圖（1），過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD于點(diǎn)H，
∵∠ABC=45°，DB⊥MN，
∴∠CBD=135°，
∵∠BCD=30°，
∴∠CBH=60°，
∴∠DBH=75°，
∴∠D=15°，
∴BH=BD•sin45°，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴DH=BH=BD=×=1，
∵∠BCD=30°
∴CD=2DH=2，
∴CH=，
∴CB=CH+BH=+1；