Question

如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，點(diǎn)P是BC邊上不與點(diǎn)B、C重合的任意一點(diǎn)，連接AP，過點(diǎn)P作PQ⊥AP交DC于點(diǎn)Q，設(shè)BP的長為xcm，CQ的長為ycm．
（1）點(diǎn)P在BC上運(yùn)動的過程中y的最大值為

 

cm；
（2）當(dāng)y=

1

4

cm時，求x的值為

 

cm．

Answer 1

分析：（1）不管P如何移動，都有△ABP∽△PCQ，根據(jù)比例線段可得到關(guān)于y的表達(dá)式，再根據(jù)二次函數(shù)來求出y的最大值．
（2）由y的值代入函數(shù)式即可求出x的值．

解答：解：（1）∵PQ⊥AP，∠CPQ+∠APB=90度．
又∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠CPQ=∠BAP，
∴tan∠CPQ=tan∠BAP，
因此，點(diǎn)在BC上運(yùn)動時始終有

BP

AB

=

CQ

PC

，
∵AB=BC=4，BP=x，CQ=y，
∴

x

4

=

y

4-x

，
∴y=-

1

4

（x²-4x）=-

1

4

（x²-4x+4）+1=-

1

4

（x-2）²+1（0＜x＜4），
∵a=-

1

4

＜0，
∴y隨x的增大而減小，y有最大值（當(dāng)x=2時），y最大=1（cm）；

（2）由（1）知，y=-

1

4

（x²-4x）當(dāng)y=

1

4

cm時，

1

4

=-

1

4

（x²-4x），
整理，得x²-4x+1=0，
∵b²-4ac=12＞0，
∴x=

-(-4)± 12

2

=2±

3

．
∵0＜2±

3

＜4，
∴當(dāng)y=

1

4

cm時，x的值是（2+

3

）cm或（2-

3

）cm．

點(diǎn)評：本題主要運(yùn)用了相似三角形的判定和性質(zhì)，以及二次函數(shù)求最大值的內(nèi)容和相關(guān)知識．