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        1. △ABC中,∠BAC=∠ACB.
          (1)如圖,E是AB延長線上一點(diǎn),連接CE,∠BEC的平分線交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)P.
          求證:∠CPD=90°-
          12
          ∠BCE;
          (2)若E是射線BA上一點(diǎn)(E不與A、B重合),連接CE,∠BEC的平分線所在直線交BC于點(diǎn)D,交CA所在直線于點(diǎn)P.∠CPD與∠BCE有什么關(guān)系?請畫出圖形,給出你的結(jié)論,并說明理由.
          分析:(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),三角形的外角性質(zhì),可得2∠CPD+∠BCE=180°,從而求解;
          (2)分兩種情況:i)若點(diǎn)E在BA上(E不與A、B重合;ii)若E在BA的延長線上;討論求解.
          解答:(1)證明:∵EP平分∠BEC,
          ∴∠BEP=∠CEP.
          △ACE中,∠A+∠ACE+∠AEC=180°.
          ∵∠ACE=∠ACB+∠BCE,且∠A=∠ACB,
          ∴2∠A+2∠BEP+∠BCE=180°,
          ∴2(∠A+∠BEP)+∠BCE=180°,
          ∵∠CPD=∠A+∠BEP,
          ∴2∠CPD+∠BCE=180°,
          ∴∠CPD=90°-
          1
          2
          ∠BCE;

          (2)結(jié)論:∠CPD=
          1
          2
          ∠BCE.理由如下:
          解:設(shè)∠CAB=∠ACB=α.
          ∵ED平分∠BEC,
          ∴∠BED=∠CED.
          設(shè)∠BED=∠CED=β,則∠CEB=2β.
          分兩種情況:
          i)若點(diǎn)E在BA上(E不與A、B重合,如圖,
          ∵∠ACE=∠BEC-∠CAE,
          ∴∠ACE═2β-α.
          ∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=α-(2β-α)=2α-2β.
          ∵∠CPD=∠CED-∠ACE,
          ∴∠CPD=β-(2β-α)=α-β,
          ∴∠CPD=
          1
          2
          ∠BCE;
          ii)若E在BA的延長線上,如圖,
          ∵∠ACE=∠CAB-∠CEB,
          ∴∠ACE═α-2β,
          ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=α+(α-2β)=2α-2β.
          ∵∠CPD=∠ACE+∠CEP,
          ∴∠CPD=α-2β+β=α-β,
          ∴∠CPD=
          1
          2
          ∠BCE.
          綜上,可知∠CPD=
          1
          2
          ∠BCE.
          點(diǎn)評:考查了等腰三角形的性質(zhì),三角形的外角性質(zhì),第二問注意分類思想的運(yùn)用,本題有一定的難度.
          練習(xí)冊系列答案
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          3
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          (2013•達(dá)州)通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目,可達(dá)到解一題知一類的目的.下面是一個(gè)案例,請補(bǔ)充完整.
          原題:如圖1,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,連接EF,則EF=BE+DF,試說明理由.

          (1)思路梳理
          ∵AB=AD,
          ∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,可使AB與AD重合.
          ∵∠ADC=∠B=90°,
          ∴∠FDG=180°,點(diǎn)F、D、G共線.
          根據(jù)
          SAS
          SAS
          ,易證△AFG≌
          △AEF
          △AEF
          ,得EF=BE+DF.
          (2)類比引申
          如圖2,四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,∠EAF=45°.若∠B、∠D都不是直角,則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系
          ∠B+∠D=180°
          ∠B+∠D=180°
          時(shí),仍有EF=BE+DF.
          (3)聯(lián)想拓展
          如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D、E均在邊BC上,且∠DAE=45°.猜想BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系,并寫出推理過程.

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