Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，相交于點(diǎn)O，cm，cm，E，F分別是AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)cm，cm，cm

小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，分別對(duì)這兩種函數(shù)隨自變量的變化而變化的情況進(jìn)行了探究，下面是小明探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

（1）畫函數(shù)的圖象

①按下表自變量的值進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測(cè)量，得到了與x的幾組對(duì)應(yīng)值：

x/cm	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4
/cm	1.12		0.5	0.71	1.12	1.58	2.06	2.55	3.04

②在所給坐標(biāo)系中描出補(bǔ)全后的表中的各對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出函數(shù)的圖象；

（2）畫函數(shù)的圖象

在同一坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象；

（3）根據(jù)畫出的函數(shù)的圖象、函數(shù)的圖象，解決問題

①函數(shù)的最小值是________________；

②函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)表示的含義是________________；

③若，AP的長(zhǎng)約為________________cm

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）見解析；（3）①y1的最小值是0.5；②AP的長(zhǎng)為2cm；③x=2.50．

【解析】

（1）①由表格得點(diǎn)（x，y1）即可；

②先由①描點(diǎn)，再用光滑曲線順次連接各點(diǎn)，即可得出函數(shù)圖象；利用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)當(dāng)x=0.5時(shí)，得出y1值，填入表格即可；

（2）過點(diǎn)F作FM⊥AC于M，由菱形的性質(zhì)各三角形中位線性質(zhì)求得FM=1，PM=3-x，所以y2=，再利用描點(diǎn)法畫出y2的圖象即可；

（3）①利用數(shù)形結(jié)合，由函數(shù)y1的圖象求解即可；

②過點(diǎn)F作FM⊥AC于M，

可利用幾何背景意義求解；

③因PC=AC-AP=4-x，由PE=PC，則y1=4-x，利用圖象求解即可．

解：（1）①如下表：圖象如圖所示：

x／cm	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4
y1／cm	1.12	0.71	0.5	0.71	1.12	1.58	2.06	2.55	3.04

②過點(diǎn)F作FM⊥AC于M，如圖，

∵菱形ABCD，

∴AC⊥BD，

∴FM∥BD，

∵F是BC的中點(diǎn)，

∴M是OC的中點(diǎn)，

∴FM=1，OM=1，

∴PM=3-x，

∴PF2=PM2+MF2，

∴y2=，

利用描點(diǎn)法作出圖象，如圖所示：

（3）如上圖；

①由圖象可得：函數(shù)y1的最小值是0.5；

②答案不唯一，如，如：用幾何背景意義可知：函數(shù)y1的圖象與函數(shù)y2的圖象的交點(diǎn)表示的含義是：當(dāng)PE=PF=1.12cm時(shí)，由圖象可得：AP的長(zhǎng)為2cm；

③∵PC=AC-AP=4-x，

∵PE=PC，

∴y1=4-x，

利用圖象可得：x=2.50．

故答案為①0.5；②當(dāng)PE=PF=1.12cm時(shí)，AP的長(zhǎng)為2cm；③2.50．