Question

（2008•懷柔區(qū)二模）如圖，設(shè)P為y=

4

x

在第一象限的圖象上的任一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P′，連接P′P、P′O、OP．
（1）說(shuō)明△POP′的面積永遠(yuǎn)為定值4．
（2）當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到P₁（x₁，y₁），點(diǎn)P₁關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為

P

′ 1

，使△P1P1′O為等邊三角形時(shí)，求OP₁所在直線的解析式；
（3）當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到P₂（x₂，y₂），點(diǎn)P₂關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為

P

′ 2

，且y₂=

1

2

y1時(shí)，求梯形P₁

P

′ 1

P

′ 2

P₂的面積．

Answer 1

分析：（1）過(guò)P點(diǎn)作PH⊥x軸，如圖，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），易得S_△OPH=

1

2

xy=2，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得到S_△P′PO=2S_△OPH=4；
（2）過(guò)P₁作P₁A⊥x軸于A，由點(diǎn)P₁關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P₁′，△P1P1′O為等邊三角形，得OP₁與y軸的夾角為30°，則∠AOP₁=60°，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到P₁A=

3

OA，這樣可設(shè)P₁的坐標(biāo)為（x₁，

3

x₁），直線OP₁的解析式為y=kx，然后把P₁的坐標(biāo)代入可解得k=

3

，從而確定OP₁所在直線的解析式；
（3）過(guò)P₁作P₁A⊥x軸于B，交P₂P₂′于C，根據(jù)P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）都在y=

4

x

上，且y₂=

1

2

y1，可得到x₁•y₁=4，x₂•y₂=4，x₂=2x₁，則P₁C=y₁-y₂=

1

2

y₁，利用梯形的面積公式得到梯形P₁

P

′ 1

P

′ 2

P₂的面積=

1

2

（P₁P₁′+P₂P₂′）•P₁C=

1

2

（2x₁+2x₂）（y₁-y₂）=

1

2

•6x₁•

1

2

y₁，把x₁•y₁=4代入計(jì)算即可．

解答：解：（1）過(guò)P點(diǎn)作PH⊥x軸，如圖，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
∵y=

4

x

，
∴xy=4，
∴S_△OPH=

1

2

xy=2，
∵點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P′，
∴S_△P′PO=2S_△OPH=4，
即△POP′的面積永遠(yuǎn)為定值4；

（2）過(guò)P₁作P₁A⊥x軸于A，如圖，
∵點(diǎn)P₁關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P₁′，△P1P1′O為等邊三角形，
∴OP₁與y軸的夾角為30°，
∴∠AOP₁=60°，
∴P₁A=

3

OA，
設(shè)P₁的坐標(biāo)為（x₁，

3

x₁），直線OP₁的解析式為y=kx，
把P₁的坐標(biāo)代入可解得k=

3

，
∴OP₁所在直線的解析式為：y=

3

x；


（3）過(guò)P₁作P₁B⊥x軸于B，交P₂P₂′于C，如圖，
∵P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）都在y=

4

x

上，且y₂=

1

2

y1，
∴x₁•y₁=4，x₂•y₂=4，x₂=2x₁，
∴P₁C=y₁-y₂=

1

2

y₁，
∴梯形P₁

P

′ 1

P

′ 2

P₂的面積=

1

2

（P₁P₁′+P₂P₂′）•P₁C
=

1

2

（2x₁+2x₂）（y₁-y₂）
=

1

2

•6x₁•

1

2

y₁
=

3

2

•x₁•y₁
=

3

2

×4
=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：點(diǎn)在反比例函數(shù)圖形上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式；點(diǎn)的坐標(biāo)與線段之間的關(guān)系；對(duì)稱和等邊三角形的性質(zhì)以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．