Question

【題目】如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，連接，以為鄰邊作與相交于點(diǎn)，且滿足．

（1）求證：四邊形為矩形；

（2）若，連接，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)利用等腰三角形的性質(zhì)可知∠CAB=∠CBA，再由三角形內(nèi)角和定理即可證出∠OAE=∠OEA，證得OA=OE，AB=DE，利用對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形進(jìn)行判定；

(2)在和中，利用勾股定理求得CD和OB的長(zhǎng)，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)證得∠COB=90，再根據(jù)勾股定理即可求得CO的長(zhǎng)．

(1)∵四邊形ADBE為平行四邊形，

∴AE∥BD，AB=2OA，DE=2OE，

∴∠ABC=∠OAE，

∵∠C=∠AOE，

∴∠CAB=∠OEA，

∵AB=BC，

∴∠CAB=∠CBA，

∴∠OAE=∠OEA，
∴OA=OE，

∴AB=DE，

∴平行四邊形ADBE是矩形；

(2)∵四邊形ADBE是矩形，

∴∠ADB=∠ADC=90，BD=AE=2，

在中，AD=4，

設(shè)CD=，則AC=BC=CD+BD=，

∵，即，

解得：，即CD=，

在中，AD=4，BD=AE=2，

∴，

∴OB=AB=，

∵AC=BC，OA=OB，

∴CO⊥AB，

∴∠COB=90，

在中，BC= CD+BD=3+2=5，BO=，

∴．