Question

【題目】如圖，點(diǎn)A和動(dòng)點(diǎn)P在直線l上，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為Q，以AQ為邊作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圓O．點(diǎn)C在點(diǎn)P右側(cè)，PC=4，過(guò)點(diǎn)C作直線m⊥l，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥m于點(diǎn)D，交AB右側(cè)的圓弧于點(diǎn)E．在射線CD上取點(diǎn)F，使DF= CD，以DE，DF為鄰邊作矩形DEGF．設(shè)AQ=3x．
（1）用關(guān)于x的代數(shù)式表示BQ，DF．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，若矩形DEGF的面積等于90，求AP的長(zhǎng)．
（3）在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中， ①當(dāng)AP為何值時(shí)，矩形DEGF是正方形？
②作直線BG交⊙O于點(diǎn)N，若BN的弦心距為1，求AP的長(zhǎng)（直接寫(xiě)出答案）．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△ABQ中，

∵AQ：AB=3：4，AQ=3x，

∴AB=4x，

∴BQ=5x，

∵OD⊥m，m⊥l，

∴OD∥l，

∵OB=OQ，

∴ =2x，

∴CD=2x，

∴FD= =3x

（2）解：∵AP=AQ=3x，PC=4，

∴CQ=6x+4，

作OM⊥AQ于點(diǎn)M（如圖1），

∴OM∥AB，

∵⊙O是△ABQ的外接圓，∠BAQ=90°，

∴點(diǎn)O是BQ的中點(diǎn)，

∴QM=AM= x

∴OD=MC= ，

∴OE= BQ= ，

∴ED=2x+4，

S矩形DEGF=DFDE=3x（2x+4）=90，

解得：x1=﹣5（舍去），x2=3，

∴AP=3x=9

（3）解：①若矩形DEGF是正方形，則ED=DF，

I．點(diǎn)P在A點(diǎn)的右側(cè)時(shí)（如圖1）

∴2x+4=3x，解得：x=4，

∴AP=3x=12；

II．點(diǎn)P在A點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)C在Q右側(cè)，

0＜x＜ 時(shí)（如圖2），

∵ED=4﹣7x，DF=3x，

∴4﹣7x=3x，解得：x= ，

∴AP= ；

當(dāng) ≤x＜ 時(shí)（如圖3），

∵ED=4﹣7x，DF=3x，

∴4﹣7x=3x，解得：x= （舍去），

當(dāng)點(diǎn)C在Q的左側(cè)時(shí)，即x≥ （如圖4），

DE=7x﹣4，DF=3x，

∴7x﹣4=3x，解得：x=1，

∴AP=3，

綜上所述：當(dāng)AP為12或 或3時(shí)，矩形DEGF是正方形；

②連接NQ，由點(diǎn)O到BN的弦心距為l，得NQ=2，

當(dāng)點(diǎn)N在AB的左側(cè)時(shí)（如圖5），

過(guò)點(diǎn)B作BM⊥EG于點(diǎn)M，

∵GM=x，BM=x，

∴∠GBM=45°，

∴BM∥AQ，

∴AI=AB=4x，

∴IQ=x，

∴NQ= =2，

∴x=2 ，

∴AP=6 ；

當(dāng)點(diǎn)N在AB的右側(cè)時(shí)（如圖6），

過(guò)點(diǎn)B作BJ⊥GE于點(diǎn)J，

∵GJ=x，BJ=4x，

∴tan∠GBJ= ，

∴AI=16x，∴QI=19x，

∴NQ= =2，

∴x= ，

∴AP= ，

綜上所述：AP的長(zhǎng)為6 或 ．

【解析】（1）由AQ：AB=3：4，AQ=3x，易得AB=4x，由勾股定理得BQ，再由中位線的性質(zhì)得AH=BH= AB，求得CD，F(xiàn)D；（2）利用（1）的結(jié)論，易得CQ的長(zhǎng)，作OM⊥AQ于點(diǎn)M（如圖1），則OM∥AB，由垂徑定理得QM=AM= x，由矩形性質(zhì)得OD=MC，利用矩形面積，求得x，得出結(jié)論；（3）①點(diǎn)P在A點(diǎn)的右側(cè)時(shí)（如圖1），利用（1）（2）的結(jié)論和正方形的性質(zhì)得2x+4=3x，得AP；點(diǎn)P在A點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C在Q右側(cè)，0＜x＜ 時(shí)（如圖2），4﹣7x=3x，解得x，易得AP；當(dāng) 時(shí)（如圖3），7﹣4x=3x，得AP；當(dāng)點(diǎn)C在Q的左側(cè)時(shí)，即x≥ （如圖4），同理得AP；②連接NQ，由點(diǎn)O到BN的弦心距為l，得NQ=2，當(dāng)點(diǎn)N在AB的左側(cè)時(shí)（如圖5），過(guò)點(diǎn)B作BM⊥EG于點(diǎn)M，GM=x，BM=x，易得∠GBM=45°，BM∥AQ，易得AI=AB，求得IQ，由NQ得AP；當(dāng)點(diǎn)N在AB的右側(cè)時(shí)（如圖6），過(guò)點(diǎn)B作BJ⊥GE于點(diǎn)J，由GJ=x，BJ=4x得tan∠GBJ= ，利用（1）（2）中結(jié)論得AI=16x，QI=19x，解得x，得AP．