Question

（2013•懷柔區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，連結(jié)AM、CM．
（1）當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最�。�
（2）當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說明理由；
（3）當(dāng)AM+BM+CM的最小值為

3

+1時(shí)，求正方形的邊長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，可得，當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM+CM的值最��；
（2）根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長（如圖）；
（3）作輔助線，過E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長線于F，由題意求出∠EBF=30°，設(shè)正方形的邊長為x，在Rt△EFC中，根據(jù)勾股定理求得正方形的邊長為

2

．

解答：解：（1）當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM+CM的值最�。�

（2）如圖，連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最�。�
理由如下：
∵M(jìn)是正方形ABCD對角線上一點(diǎn)
∴AM=CM
又AB=BC，BM=BM
∴△ABM≌△CBM
∴∠BAM=∠BCM      
又BE=BA=BC
∴∠BEC=∠BCM
∴∠BEC=∠BAM

在EC上取一點(diǎn)N使得EN=AM，連結(jié)BN
又∵EB=AB
∴△BNE≌△ABM…（3分）
∴∠EBN=∠ABM，BN=BM
又∵∠EBN+∠NBA=60°
∴∠ABM+∠NBA=60°
即∠NBM=60°
∴△BMN是等邊三角形．
∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．
根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長．

（3）過E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長線于F
∴∠EBF=90°-60°=30°
設(shè)正方形的邊長為x，則BF=

3

2

x，EF=

x

2

在Rt△EFC中，
∵EF²+FC²=EC²，
∴（

x

2

）²+（

3

2

x+x）²=(

3

+1)2．
解得，x=

2

（舍去負(fù)值）．
∴正方形的邊長為

2

．

點(diǎn)評：本題考查軸對稱的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，是一道綜合性的題目，難度較大．