Question

（2006•遼寧）已知BC為⊙O直徑，D是直徑BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，O，C重合），過(guò)點(diǎn)D作直線AH⊥BC交⊙O于A，H兩點(diǎn)，F(xiàn)是⊙O上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），且，直線BF交直線AH于點(diǎn)E．
（1）如圖（a），當(dāng)點(diǎn)D在線段BO上時(shí)，試判斷AE與BE的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段OC上，且OD＞DC時(shí)，其它條件不變．
①請(qǐng)你在圖（b）中畫(huà)出符合要求的圖形，并參照?qǐng)D（a）標(biāo)記字母；
②判斷（1）中的結(jié)論是否還成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）AE=BE，可根據(jù)垂徑定理得出弧AB=弧BH，已知了弧AB=弧AF，因此弧BH=弧AF，根據(jù)圓周角定理可得出∠BAH=∠ABF根據(jù)等角對(duì)等邊即可得出AE=BE．（方法不唯一）
（2）結(jié)論不變，證法同（1），根據(jù)垂徑定理可得出弧AC=弧CH，因此弧AB=弧BH，由于弧AB=弧AF，因此弧AF=弧BH，即∠BAE=∠ABE，因此AE=BE．
解答：解：（1）AE=BE
證法①：
∵BC為⊙O直徑，AH⊥BC于點(diǎn)D
∴
又∵
∴
∴∠1=∠2
∴AE=BE．
證法②：
連AF，AC
∵BC是⊙O直徑，AH⊥BC于點(diǎn)D
∴∠BAC=∠ADB=90°
∴∠2+∠ABD=90°，∠ABD+∠C=90°
∴∠2=∠C
∵∠F=∠C
∴∠2=∠F
又∵
∴∠1=∠F
∴∠1=∠2
∴AE=BE．
證法③：
連接OA，交BF于點(diǎn)G
∵
∴OA⊥BF
又∵AD⊥BC
∴∠ADO=∠BGO
又∵∠AOB=∠AOB
∴△AOD∽△BOG
∴∠OBE=∠OAD
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
∴∠1=∠2
∴AE=BE

（2）①所畫(huà)圖形如右圖所示，AE=BE成立
證法①：
∵BC是⊙O直徑，AH⊥BC于點(diǎn)D
∴
又=
∴
∴∠BAE=∠ABE
∴AE=BE．

證法②：
連接AC，AF
∵BC是⊙O直徑，BC⊥AD于點(diǎn)D
∴∠BAC=∠ADC=90°
∵
∴∠BAD=∠C
又∵
∴∠ABF=∠AFB
又∵∠C=∠AFB
∴∠ABF=∠BAE
∴BE=AE．
證法③：
連接AO并延長(zhǎng)AO交BF于點(diǎn)G
∵，AG過(guò)圓心
∴AG⊥BF
又∵AH⊥BC于點(diǎn)D
∴∠ADO=∠OGB=90°
又∵BC為⊙O直徑，∠2=∠3
∴∠GBO=∠DAO
又∵OA=OB
∴∠4=∠5
∴∠ABG=∠BAD
∴BE=AE．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理、圓周角定理等知識(shí)．找出與所求邊相關(guān)的弧之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．