Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c與y軸正半軸交于點C，與x軸交于點A（1，0）、B（4，0），∠OCA=∠OBC．
（1）求拋物線的解析式；                                    
（2）在直角坐標平面內(nèi)確定點M，使得以點M、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點M的坐標；
（3）如果⊙P過點A、B、C三點，求圓心P的坐標．

Answer 1

分析：（1）要求拋物線的解析式，由題意知只需要求出點C的坐標即可，而點C的坐標可以根據(jù)△AOC∽△COB求得．
（2）要求點M的坐標，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)兩組對邊分別平行且相等來確定點M的坐標．
（3）根據(jù)拋物線的對稱性可知⊙P的圓心在對稱軸上，再根據(jù)三角形外接圓的圓心到三角形三個頂點的距離相等得知PC=PA，根據(jù)兩點間的距離公式可以求出點P的坐標．

解答：解：（1）∵∠AOC=∠COB，∠OCA=∠OBC，
∴△AOC∽△COB，
∴OC²=AO•BO=1×4=4，
∴OC=2，
∴C（0，2）．（1分）
由題意，設拋物線解析式y(tǒng)=a（x-1）（x-4）．
∴a（0-1）（0-4）=0，
∴a=

1

2

．
∴y=

1

2

x2-

5

2

x+2；（2分）

（2）M₁（3，2）或M₂（-3，2）或M₃（5，-2）；（3分）

（3）由（1）可得，拋物線y=

1

2

x2-

5

2

x+2的對稱軸是直線x=

5

2

，（1分）
∵⊙P經(jīng)過點A、B，
∴圓心P在直線x=

5

2

上，設P(

5

2

，y)．（1分）
∵點C在⊙P上，∴PC=PA，
∴(

5

2

-0)2+(y-2)2=(

5

2

-1)2+y2，（2分）
解得y=2．（1分）
∴P(

5

2

，2)．（1分）

點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合題，要求學生能根據(jù)已知三點坐標求二次函數(shù)的解析式，把平行四邊形的性質(zhì)和平面直角坐標系點的坐標結(jié)合起來，在求⊙P的坐標時運用了拋物線的性質(zhì)．是一道綜合性較強的試題．