Question

已知如圖，矩形OABC的長OA=

3

，寬OC=1，將△AOC沿AC翻折得△APC．
（1）填空：∠PCB=

 

度，P點坐標(biāo)為

 

；
（2）若P，A兩點在拋物線y=-

4

3

x²+bx+c上，求b，c的值，并說明點C在此拋物線上；
（3）在（2）中的拋物線CP段（不包括C，P點）上，是否存在一點M，使得四邊形MCAP的面積最大？若存在，求出這個最大值及此時M點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）在直角△OAC中，根據(jù)三角函數(shù)就可以求出∠CAO的度數(shù)，以及∠OCA的度數(shù)．而∠PCA=∠OCA∠BCA=∠CAO，則：∠PCB就可以求出．在直角△PCG中，根據(jù)三角函數(shù)可以求得CG，PG的長，從而得到P的坐標(biāo)．
（2）P、A兩點的坐標(biāo)容易得到，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式．求出b，c的值．C點的坐標(biāo)已知，代入函數(shù)的解析式，就可以判斷是否在函數(shù)的圖象上．
（3）過點M作MF⊥x軸分別交CP、CB和x軸于E、N和F，過點P作PG⊥x軸交CB于G，根據(jù)S_△CMP=s_△CME+S_△PME，四邊形MCAP的面積就可以表示成OF的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)，就可以求出最值．

解答：解：（1）30，（

3

2

，

3

2

）

（2）∵點P（

3

2

，

3

2

），A（

3

，0）在拋物線上，
∴

- 4 3 × 3 4 +b× 3 2 +c= 3 2 - 4 3 ×3+b× 3 +c=0

∴

b= 3 c=1

∴拋物線的解析式為y=-

4

3

x²+

3

x+1
C點坐標(biāo)為（0，1）
∵-

4

3

×0²+

3

×0+1=1
∴C點在此拋物線上．

（3）假設(shè)存在這樣的點M，使得四邊形MCAP的面積最大．
∵△ACP面積為定值，
∴要使四邊形MCAP的面積最大，只需使△PCM的面積最大．
過點M作MF⊥x軸分別交CP、CB和x軸于E、N和F，過點P作PG⊥x軸交CB于G．
S_△CMP=s_△CME+S_△PME=

1

2

ME•CG=

3

4

ME
設(shè)M（x₀，y₀），
∵∠ECN=30°，CN=x₀，
∴EN=

3

3

x₀
∴ME=MF-EF=-

4

3

x₀²+

2 3

3

x₀
∴S_△CMP=-

3

3

x₀²+

1

2

x
∵a=-

3

3

＜0，
∴S有最大值．
當(dāng)x₀=

3

4

時，S的最大值是

3

16

，
∵S_{四邊形MCAP}=s_△CPM+S_△ACP
∴四邊形MCAP的面積的最大值為

9 3

16

此時M點的坐標(biāo)為（

3

4

，

3

2

）
所以存在這樣的點M（

3

4

，

3

2

），使得四邊形MCAP的面積最大，其最大值為

9 3

16

．

點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，最值問題基本的解決思路是轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題．