Question

小明取出一張矩形紙片ABCD，AD=BC=5，AB=CD=25．他先在矩形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)M，接著在CD上取一點(diǎn)N，然后將紙片沿MN折疊，使MB′與DN交于點(diǎn)K，得到△MNK（如圖①）．
（1）試判斷△MNK的形狀，并說(shuō)明理由．
（2）如何折疊能夠使△MNK的面積最大？請(qǐng)你利用備用圖探究可能出現(xiàn)的情況，求出最大值．

Answer 1

解：（1）△MNK是等腰三角形，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AM∥DN，
∴∠KNM=∠1．
∵∠KMN=∠1，
∴∠KNM=∠KMN．
∴KN=KM，
∴△MNK是等腰三角形．

（2）分兩種情況：
情況一：將矩形紙片對(duì)折，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，此時(shí)點(diǎn)K也與點(diǎn)D重合．
設(shè)MK=MD=x，則AM=25-x，
在Rt△DAM中，由勾股定理，得x²=（25-x）²+5²，
解得，x=13．
即MD=ND=13，
故S_△MNK=S_梯形AMND-S_△ADM=25×-12×5×=32.5． 

情況二：將矩形紙片沿對(duì)角線AC對(duì)折，此時(shí)折痕為AC．
設(shè)MK=AK=CK=x，則DK=25-x，
同理可得x²=（25-x）²+5²，
解得：x=13，
即MK=NK=13．
故S_△MNK=S_△DAC-S_△DAK=25×5-12×5=32.5．
分析：（1）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AM∥DN，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠KNM=∠1，由折疊可得∠KMN=∠1，進(jìn)而得到∠KNM=∠KMN，根據(jù)等角對(duì)等邊可得KN=KM，得到△MNK是等腰三角形；
（2）此題要分兩種情況進(jìn)行討論：①將矩形紙片對(duì)折，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，此時(shí)點(diǎn)K也與點(diǎn)D重合；②將矩形紙片對(duì)折，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，此時(shí)點(diǎn)K也與點(diǎn)D重合．分別進(jìn)行計(jì)算即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積計(jì)算，注意分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一點(diǎn)的難度．