Question

（2004•南平）已知：如圖，A是半徑為2的⊙O上的一點，P是OA延長線上的一動點，過P作⊙O的切線，切點為B，設PA=m，PB=n．
（1）當n=4時，求m的值；
（2）⊙O上是否存在點C，使△PBC為等邊三角形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由；
（3）當m為何值時，⊙O上存在唯一點M和PB構成以PB為底的等腰三角形？并直接答出：此時⊙O上能與PB構成等腰三角形的點共有幾個？

Answer 1

【答案】分析：（1）此題可有兩種解法：①連接OB，利用勾股定理求解，②延長PO交⊙O于另外一點，利用切割線定理求解；
（2）若△PBC是等邊三角形，則必有PB=PC，由于PB是⊙O的切線，且C在⊙O上，那么若存在符合條件的C點，則PC必與⊙O相切，且切點為C（切線長定理）．若△PBC是等邊三角形，則∠BPC=60°，∠BPO=30°，可連接OB，在Rt△OBP中，通過解直角三角形即可求得AP的長即m的值；
（3）若存在等腰△PBM，且以PB為底，那么M點必在線段PB的垂直平分線上，而⊙O上存在唯一點M，那么線段PB的中垂線與⊙O相切，且切點為M．連接OM，易證得四邊形OBDM是正方形，則BP=2BD=2OB=4，即n=4，在Rt△OBP中，利用勾股定理即可求得OP的長，進而可得到AP即m的值．
在上面已經求得PB=4，若M能與PB構成等腰三角形（PB不一定是底邊），可有兩種情況考慮：
①BM=PB=4，由于⊙O的半徑為2，那么過B作⊙O的直徑BM，此時M點就符合題意；
②PB=PM=4，此種情況與（2）題相同，此時M、C重合，即PM與⊙O相切，且切點為M．
由于BM=PM在上面已經討論過，所以能與PB構成等腰三角形的共有3點．
解答：解：（1）解法一：連接OB．

∵PB切⊙O于B，
∴∠OBP=90°，
∴PO²=PB²+OB²，
∵PO=2+m，PB=n，OB=2，
∴（2+m）²=n²+2²m²+4m=n²；
n=4時，解，得：
（舍去），．
∴m的值為．
解法二：延長PO交⊙O于Q，PAQ為⊙O割線．
又∵PB切⊙O于B，
∴PB²=PA•PQ，（1分）
∵PB=n，PA=m，PO=m+4，
∴n²=m²+4m，（3分）
當n=4時，解得（舍去），，
∴m的值為．（5分）

（2）存在點C，使△PBC為等邊三角形；（6分）
當∠OPB=30°時，過點P作⊙O的另一條切線PC，C為切點，

∴PB=PC，∠OPB=∠OPC，
∴∠BPC=60°，∴△PBC為等邊三角形；（7分）
連接OB，∠OBP=90°，OB=2，得OP=4，（8分）
∴m=PA=OP-OA=2．（9分）

（3）如圖，設EF為線段PB的垂直平分線，垂足為D，當EF與⊙O相切于點M時，M符合要求；（10分）
連接OB、OM，易得四邊形OMDB為正方形，

∴BD=DM=OM=2，
∴n=PB=4．（12分）
由（1）得n=4時，m=，
∴當m=時，⊙O上存在唯一點M和PB構成以PB為底的等腰三角形，（13分）
此時⊙O上共有3個點能與PB構成等腰三角形．（14分）
（這3點分別是M，M₁，M₂．其中M是PB中垂線與⊙O的切點，M₁是延長BO與⊙O的交點，M₂是點B關于OP的對稱點）
點評：此題考查了勾股定理、切割線定理、切線長定理、等腰三角形和等邊三角形的判定、切線的性質等重要知識點，綜合性強，難度較大．