Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．點P，Q都是斜邊AB上的動點，點P從B向A運動（不與點B重合），點Q從A向B運動，BP=AQ．點D，E分別是點A，B以Q，P為對稱中心的對稱點，HQ⊥AB于Q，交AC于點H．當點E到達頂點A時，P，Q同時停止運動．設BP的長為x，△HDE的面積為y．
（1）求證：△DHQ∽△ABC；
（2）求y關于x的函數(shù)解析式并求y的最大值；
（3）當x為何值時，△HDE為等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對稱性可得HD=HA，那么可得∠HDQ=∠A，加上已有的兩個直角相等，那么所求的三角形相似；
（2）分0＜x≤2.5；2.5＜x≤5兩種情況討論，得到y(tǒng)關于x的函數(shù)關系式，再利用二次函數(shù)的最值即可求得最大值；
（3）等腰三角形有兩邊相等，根據(jù)所在的不同位置再分不同的邊相等解答．

解答：（1）證明：∵A、D關于點Q成中心對稱，HQ⊥AB，
∴∠HQD=∠C=90°，HD=HA，
∴∠HDQ=∠A，
∴△DHQ∽△ABC．

（2）解：①如圖1，當0＜x≤2.5時，
ED=10-4x，QH=AQtanA=

3

4

x，
此時y=

1

2

（10-4x）×

3

4

x=-

3

2

x2+

15

4

x，
當x=

5

4

時，最大值y=

75

32

，
②如圖2，當2.5＜x≤5時，
ED=4x-10，QH=AQtanA=

3

4

x，
此時y=

1

2

（4x-10）×

3

4

x=

3

2

x2-

15

4

x=

3

2

（x-

5

4

）²-

75

32

．
當2.5＜x≤5時，y有最大值，
當x=5時，最大值為y=

75

4

，
∴y與x之間的函數(shù)解析式為y=

- 3 2 x2+ 15 4 x(0＜x≤2.5)  3 2 x2- 15 4 x (2.5＜x≤5)

，
則當2.5＜x≤5時，y有最大值，其最大值是y=

75

4

．
綜上可得，y的最大值為

75

4

．

（3）解：①如圖1，當0＜x＜2.5時，
若DE=DH，∵DH=AH=

QA

cosA

=

5

4

x，DE=10-4x，
∴10-4x=

5

4

x，x=

40

21

．
∵∠EDH＞90°，
∴EH＞ED，EH＞DH，
即ED=EH，HD=HE不可能；
②如圖2，當2.5＜x≤5時，
若DE=DH，4x-10=

5

4

x，x=

40

11

；
若HD=HE，此時點D，E分別與點B，A重合，x=5；
若ED=EH，則∠ADH=∠DHE，
又∵點A、D關于點Q對稱，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴

ED

DH

=

DH

AD

，x=

320

103

，
∴當x的值為

40

21

，

40

11

，5，

320

103

時，△HDE是等腰三角形．

點評：本題綜合考查了相似三角形的判定和性質，二次函數(shù)的最值等問題，注意分不同位置，邊長相等的不同情況探討三角形為等腰三角形的條件．