Question

如圖，已知四邊形ABCD中，AB=AD=8，∠A=∠B=90°．E為AB上一點，且DE⊥DC，DF平分∠EDC交BC于F．
（1）請用尺規(guī)作圖作出DF，保留作圖痕跡，不要求寫作法；
（2）連EF，若tan∠ADE=，求EF的長；
（3）在（2）的條件下，作DG⊥BC于G，連接AG，交DE于M，則MA的長為______

Answer 1

【答案】分析：（1）利用角平分線的作法作圖即可；
（2）過D作DG⊥BC于G，由已知可得四邊形ABGD為正方形，然后利用正方形的性質(zhì)和已知條件證明△ADE≌△GDC，接著利用全等三角形的性質(zhì)證明△EDF≌△CDF，
由tan∠ADE=根據(jù)已知條件可以求出AE=GC=2．設(shè)EF=x，則BF=10-CF=10-x，BE=6．在Rt△BEF中根據(jù)勾股定理即可求出x，也就求出了EF；
（3）利用已知得出△AEM∽△GDM，則=，求出AM即可．
解答：解：（1）如圖1所示：DF即為所求；

（2）如圖2所示：過D作DG⊥BC于G．
由已知可得四邊形ABGD為正方形，
∵DE⊥DC．
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE=∠GDC．
又∵∠A=∠DGC且AD=GD，
在△ADE和△GDC中，

∴△ADE≌△GDC（ASA），
∴DE=DC且AE=GC．
在△EDF和△CDF中
，
∴△EDF≌△CDF，
∴EF=CF；
∵tan∠ADE==，
∴AE=GC=2．
∴BC=10，
BE=6，設(shè)CF=x，則BF=10-CF=10-x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：x²=（10-x）²+6²，
解得：x=6.8，
即EF=6.8；

（3）如圖2所示：
由題意可得出：AB∥DG，
∴△AEM∽△GDM，
∴=，
∵AB=AD=8，∠A=∠B=90°，∠DGB=90°，
∴四邊形ABDG是正方形，
∴DG=8，
∵AE=2，
∴=，
解得：AM=．
故答案為：．
點評：本題考查了梯形、正方形、直角三角形以及相似三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)等相關(guān)知識．解決此類題要懂得用梯形的常用輔助線，把梯形分割為矩形和直角三角形，從而由矩形和直角三角形的性質(zhì)來求解．