Question

已知矩形紙片ABCD中，AB=1，BC=2．將該紙片折疊成一個(gè)平面圖形，折痕EF不經(jīng)過(guò)A點(diǎn)（E，F(xiàn)是該矩形邊界上的點(diǎn)），折疊后點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，給出以下判斷：
①當(dāng)四邊形A′CDF為正方形時(shí)，EF=；
②當(dāng)EF=時(shí)，四邊形A′CDF為正方形；
③當(dāng)EF=時(shí)，四邊形BA′CD為等腰梯形；
④當(dāng)四邊形BA′CD為等腰梯形時(shí)，EF=．
其中正確的是    （把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上）．

Answer 1

【答案】分析：①根據(jù)正方形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)判定“A'F剛好是矩形ABCD的中位線點(diǎn)E和點(diǎn)B重合，EF即正方形ABA'F的對(duì)角線”，所以在直角△AEF中，由勾股定理可以求得EF=；
②根據(jù)①中的EF=可以推知，當(dāng)EF沿著B(niǎo)C邊平移時(shí)，EF的長(zhǎng)度不變，但是四邊形A′CDF不是正方形；
③根據(jù)勾股定理求得BD=，所以由已知條件可以推知EF與對(duì)角線BD重合．由折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)易證四邊形BA′CD為等腰梯形；
④當(dāng)四邊形BA′CD為等腰梯形時(shí)，EF與對(duì)角線BD重合，即EF=．
解答：解：∵在矩形紙片ABCD中，AB=1，BC=2，
∴BC=2AB．
①如圖①．∵A'CDF為正方形，說(shuō)明A'F剛好是矩形ABCD的中位線，
∴AF=BA'=1，即點(diǎn)E和點(diǎn)B重合，EF即正方形ABA'F的對(duì)角線．
EF=AB=．
故①正確；．

②如圖①，由①知四邊形A′CDF為正方形時(shí)，EF=，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合．
EF可以沿著B(niǎo)C邊平移，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B不重合時(shí)，四邊形A′CDF就不是正方形．
故②錯(cuò)誤；

③如圖②，∵BD===，EF=，
∴BD=EF，
∴EF與對(duì)角線BD重合．
易證BA'CD是等腰梯形．
故③正確；

④BA'CD為等腰梯形，只能是BA'=CD，EF與BD重合，所以EF=．
故④正確．
綜上所述，正確的是①③④．
故填：①③④．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)．折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．