Question

【題目】如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝9，AD＝4.E為CD邊上一點(diǎn)，CE＝6. 點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著邊BA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，連接PE．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，△PAE為直角三角形？

(2)是否存在這樣的t，使EA恰好平分∠PED，若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=6，t=；（2）PA=PE，t=

【解析】

（1）需要分類(lèi)討論：AE為斜邊和AP為斜邊兩種情況下的直角三角形；

（2）假設(shè)存在．利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)以及等量代換推知：∠PEA=∠EAP，則PE=PA，由此列出關(guān)于t的方程，通過(guò)解方程求得相應(yīng)的t的值即可．

（1）∵矩形ABCD中，AB=9，AD=4，

∴CD=AB=9，∠D=90°，

∴DE=9-6=3，

∴AE===5；

若∠EPA=90°，t=6；

②若∠PEA=90°，（6-t）2+42+52=（9-t）2，
解得t=．

綜上所述，當(dāng)t=6或t=時(shí)，△PAE為直角三角形；

（2）假設(shè)存在，

∵EA平分∠PED，

∴∠PEA=∠DEA，

∵CD∥AB，

∴∠DEA=∠EAP，

∴∠PEA=∠EAP，

∴PE=PA，

∴（6-t）2+42=（9-t）2，

解得t=．

∴滿(mǎn)足條件的t存在，此時(shí)t=．