Question

【題目】已知拋物線y＝ax2－2ax＋c與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，點A的坐標是（-1,0），O是坐標原點，且OC=3OA．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）直接寫出直線BC的函數(shù)表達式；

（3）如圖1，D為y軸的負半軸上的一點，且OD=2，以OD為邊作正方形ODEF．將正方形ODEF以每秒1個單位的速度沿x軸的正方向移動，在運動過程中，設正方形ODEF與△OBC重疊部分的面積為s，運動的時間為t秒（0＜t≤2）．

求：①s與t之間的函數(shù)關系式；

②在運動過程中，s是否存在最大值？如果存在，直接寫出這個最大值；如果不存在，請說明理由．

（4）如圖2，點P（1，k）在直線BC上，點M在x軸上，點N在拋物線上，是否存在以A、M、N、P為頂點的平行四邊形？若存在，請直接寫出M點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2－2x－3 ；

（2）直線BC的函數(shù)表達式為y=x－3；

（3）①

②當t =2秒時，S有最大值，最大值為．

（4）存在符合條件的點M，且坐標為M 1（－，），M2（，）， M3（，），M4（，）

【解析】分析：(1)先由OC、OA的數(shù)量關系確定點C的坐標，然后利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式; (2)由(1)的拋物線解析式可得點B的坐標，結合點C的坐標，利用待定系數(shù)法求解即可; (3)①首先要明確正方形ODEF和△OBC重合部分的形狀：當點D在△OBC內部時，兩者的重合部分是矩形；當點D在△OBC外部時，兩者的重合部分是五邊形，其面積可由正方形的面積減去△ 的面積(G、H分別為 、 和線段BC的交點)．在判斷t的取值范圍時，要注意一個“關鍵點”即點D位于線段BC上時; ②根據①的函數(shù)性質即可得到答案． (4)若存在以A、M、N、P為頂點的平行四邊形，應分AM PN或AN PM兩種情況.由于AM在x軸上，結合平行四邊形的特點可知：無論哪種情況，點N到x軸的距離都等于點P到x軸的距離，根據這個特點可確定點M、N的坐標．

本題解析：（1）∵ A（-1,0）, ,C（0,-3）

∵拋物線經過A（-1,0）,C（0,-3）

∴，∴，

∴y=x2－2x－3

(2)由(1)的拋物線解析式可知：點B(3，0).

設直線BC的解析式為y=kx+b.

將B(3，0)，C(0，-3)代入得，解得 ，

∴直線BC的函數(shù)表達式為y=x-3．

（3）當正方形ODEF的頂點D運動到直線BC上時，設D點的坐標為（m，-2），

根據題意得： -2=m-3，∴m=1

①當0＜t≤1時，S1=2t

當1＜t≤2時

S2= =2t－

=－，

②當t =2秒時，S有最大值，最大值為

（4）由(2)知：點P(1，-2)，假設存在符合條件的點M.

①當AM∥PN，AM=PN時，點N、P的縱坐標相同，

即點N的縱坐標為-2，代入拋物線的解析式中得x-2x-3=-2，

解得 x=1± ，

∴AM=NP=，

∴M 1（－，0） M2（，0）,

②當AN∥PM,AN=PM時，平行四邊形的對角線PN、AM互相平分.

設M(m，0)，則N(m-2，2).

將點N的坐標代入拋物線的解析式中，得(m-2)-2(m-2)-3=2，

解得 m=3±，

∴M3（3-，0） M4（3+，0 ）．

綜上，存在符合條件的M點，且坐標為：

M 1（－，0） M2（，0）

M3（3-，0） M4（3+，0 ）