Question

3．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm．點P從點C出發(fā)沿CB以1cm/s的速度向終點B勻速運動；同時點Q從點A出發(fā)沿AB以acm/s的速度向點B勻速運動，以點C為圓心，CP為長為半徑畫⊙C交AC于點D，連接PQ、DQ、PD．若在運動的過程中PQ與⊙C始終保持相切，設運動時間為ts．
（1）a=$\frac{5}{3}$；
（2）當S_△PQD=$\frac{2}{9}$S_△ABC時，求t的值；
（3）是否存在t的值，使得△PQD是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作QM⊥AC于M．首先證明四邊形PCMQ是矩形，由QM∥BC，得$\frac{QM}{BC}$=$\frac{AQ}{AB}$，可得方程$\frac{t}{6}$=$\frac{at}{10}$，解方程即可．
（2）由PQ∥AC，得$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{BP}{BC}$，即$\frac{PQ}{8}$=$\frac{6-t}{6}$，推出PQ=$\frac{4}{3}$（6-t），根據(jù)S_△PQD=$\frac{2}{9}$S_△ABC，列出方程，解方程即可．
（3）分兩種情形討論）①當∠PDQ=90°，易知△PDQ是等腰直角三角形，則有$\frac{1}{2}$PQ=PC，②當∠PQD=90°時，則有AM+CD=8，分別構建方程解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，作QM⊥AC于M．

在Rt△ABC中，∵AB=10，AC=8，
BC=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵PQ是⊙C的切線，
∴PQ⊥BC，
∴∠QPC=∠PCM=∠CMQ=90°，
∴四邊形PCMQ是矩形，
∴QM=PC=t，
∵QM∥BC，
∴$\frac{QM}{BC}$=$\frac{AQ}{AB}$
∴$\frac{t}{6}$=$\frac{at}{10}$，
∴a=$\frac{5}{3}$cm/s．
故答案為$\frac{5}{3}$．

（2）∵PQ∥AC，
∴$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{BP}{BC}$，
∴$\frac{PQ}{8}$=$\frac{6-t}{6}$，
∴PQ=$\frac{4}{3}$（6-t），
∵S_△PQD=$\frac{2}{9}$S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{3}$（6-t）•t=$\frac{2}{9}$•$\frac{1}{2}$•6•8，
∴t=2或4．

（3）①當∠PDQ=90°，易知△PDQ是等腰直角三角形，則有$\frac{1}{2}$PQ=PC，
∴$\frac{4}{3}$（6-t）=2t，
∴t=$\frac{12}{5}$．
②當∠PQD=90°時，則有AM+CD=8，
∴$\frac{4}{3}$t+t=8，
∴t=$\frac{24}{7}$，
綜上所述，t=$\frac{18}{11}$s或$\frac{24}{7}$s時，△PQD是直角三角形．

點評 本題考查圓綜合題、矩形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、三角形的面積等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會用分類討論的思想思考問題，學會把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考壓軸題．