Question

如圖，以線段BC為一邊在BC的同側作Rt△BCD、Rt△BCE，過D作線段DA∥BC，交BE延長線于A，設BD、CE交于點F，取BC的中點G，連接EG、AF，且∠DCB=45°，CD=2．
（1）求EG的長．
（2）CF、AB、AF之間有何數(shù)量關系？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)BD⊥CD，∠DCB=45°，得到∠DBC=∠DCB，求出BD=CD=2，根據(jù)勾股定理求出BC=2

2

，根據(jù)CE⊥BE，點G為BC的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出EG；
（2）在線段CF上截取CH=BA，連接DH，根據(jù)BD⊥CD，BE⊥CD，推出∠EBF=∠DCF，證出△ABD≌△HCD，得到CD=BD，∠ADB=∠HDC，根據(jù)AD∥BC，得到∠ADB=∠DBC=45°，推出∠ADB=∠HDB，證出△ADF≌△HDF，即可得到答案．

解答：解：（1）∵BD⊥CD，∠DCB=45°，
∴∠DBC=45°=∠DCB，
∴BD=CD=2，在Rt△BDC中BC=

BD2+CD2

=2

2

．
∵Rt△BCE中，∠BEC=90°，
∵點G為BC的中點，
∴EG=

1

2

BC=

2

．
故EG的長是

2

；

（2）CF=AB+AF．理由如下：
在線段CF上截取CH=BA，連接DH．
∵BD⊥CD，BE⊥CE，
∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，
∵∠EFB=∠DFC，
∴∠EBF=∠DCF，
∵DB=CD，BA=CH，
∴△ABD≌△HCD，
∴AD=DH，∠ADF=∠HDC，
∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DBC=45°，
∴∠HDC=45°，
∴∠HDF=∠BDC-∠HDC=45°，
∴∠ADF=∠HDF，
∵AD=HD，DF=DF，
∴△ADF≌△HDF，
∴AF=HF，
∴CF=CH+HF=AB+AF，
∴CF=AB+AF．

點評：本題主要考查全等三角形的性質和判定，梯形、平行線、直角三角形斜邊上的中線的性質，勾股定理等知識點的理解和掌握，綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵．