Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=1，BC=3，點(diǎn)E在線段AB上（與端點(diǎn)A，B不重合），過(guò)點(diǎn)E的直線EF交線段AD于點(diǎn)F，tan∠EFA=

2

5

（∠EFA為銳角）．

（1）記△CEF的面積為S₁，BE的長(zhǎng)為x，求S₁與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若點(diǎn)E在AB的中點(diǎn)處，點(diǎn)P是線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC，PN⊥CD，M，N為垂足．記矩形PMCN的面積為S₂，請(qǐng)你設(shè)一個(gè)恰當(dāng)?shù)淖宰兞縳，求S₂與x的函數(shù)關(guān)系式；并確定面積S₂取得最大時(shí)P點(diǎn)的位置．

Answer 1

分析：（1）由tan∠EFA=

2

5

可以表示出AE、AF，從而可以DF，可以求出S₁=S_矩形ABCD-S_△AEF-S_△BEC-S_△CFD．
（2）作PG⊥AB于G，設(shè)PE=x，由tan∠EFA=

2

5

可以表示出AF，根據(jù)勾股定理可以求出EF，利用三角形相似就可以求出PG，GE，進(jìn)而可以表示出PN、PM，根據(jù)矩形的面積就可以表示出S₂，最后化為頂點(diǎn)式就可以求出最值，從而確定P的位置．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC．∠A=∠B=∠D，
∵AB=1，BE=x，
∴AE=1-x，
∵tan∠EFA=

2

5

=

AE

AF

，
∴

2

5

=

1-x

AF

，
∴AF=

5-5x

2

，
∴DF=

1+5x

2

，
∴S₁=3-

3x

2

-

(1-x) × 5-5x 2

2

-

1× 1+5x 2

2

=

-5x2-x+6

4

（2）作PG⊥AB于G，設(shè)PE=x，
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴AE=

1

2

AB=

1

2

，
∵tan∠EFA=

2

5

=

AE

AF

，
∴

1 2

AF

=

2

5

，
∴AF=

5

4

．
∴EF=

29

4

∵PG⊥AB，
∴△EPG∽△EFA，
∴

EP

EF

=

EG

AE

=

GP

AF

，
∴

x

29 4

=

EG

1 2

=

GP

5 4

，
∴EG=

2 29 x

29

，GP=

5 29 x

29

，
S₂=（3-

5 29 x

29

）（

1

2

+

2 29 x

29

）
=-

10

29

（x-

7 29

40

）²+

609

160

∴S2與x的關(guān)系式為：S₂=-

10

29

（x-

7 29

40

）²+

609

160

當(dāng)S₂取得最大值時(shí)P點(diǎn)的位置是PE=

7 29

40

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理的運(yùn)用，銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用．