Question

（2012•廣陵區(qū)二模）如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F在A(yíng)C的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且∠CAB=2∠CBF．
（1）試判斷直線(xiàn)BF與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若AB=6，BF=8，求tan∠CBF．

Answer 1

分析：（1）連接AE．通過(guò)AB⊥BF，點(diǎn)B在⊙O上可以推知BF為⊙O的切線(xiàn)；
（2）作輔助線(xiàn)CG（過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BF于點(diǎn)G）構(gòu)建平行線(xiàn)AB∥CG．由“平行線(xiàn)截線(xiàn)段成比例”知

FG

BF

=

FC

AF

=

4

10

=

2

5

，從而求得FG的值；然后根據(jù)圖形中相關(guān)線(xiàn)段間的和差關(guān)系求得直角三角形CBG的兩直角邊BG、CG的長(zhǎng)度；最后由銳角三角函數(shù)的定義來(lái)求tan∠CBF的值．

解答：解：（1）BF為⊙O的切線(xiàn)．
證明：連接AE．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），
∴∠BAE+∠ABE=90°（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）；
又∵AB=AC，AE⊥BC，
∴AE平分∠BAC，即∠BAE=∠CAE；
∵∠CAB=2∠CBF，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，即AB⊥BF，
∵OB是半徑，
∴BF為⊙O的切線(xiàn)；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BF于點(diǎn)G．
在Rt△ABF中，AB=6，BF=8，
∴AC=10（勾股定理）；
又∵AC=AB=6
∴CF=4；
∵CG⊥BF，AB⊥BF，
∴CG∥AB，
∴

FG

BF

=

FC

AF

=

4

10

=

2

5

，（平行線(xiàn)截線(xiàn)段成比例），
∴FG=

16

5

，
由勾股定理得：CG=

CF2-FG2

=

12

5

，
∴BG=BF-FG=8-

16

5

=

24

5

，
在Rt△BCG中，tan∠CBF=

CG

BG

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線(xiàn)截線(xiàn)段成比例、直角所對(duì)的圓周角是直角等知識(shí)點(diǎn)．要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．