Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，O是斜邊AB上的一點(diǎn)，圓O過點(diǎn)A并與邊BC相切于點(diǎn)D，與邊AC相交于點(diǎn)E．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若圓O的半徑為4，∠B=30°，求AC長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接DF，OD，構(gòu)造出直角三角形，根據(jù)弦切角定理可知∠CDA=∠DFA，∠C=∠ADF，AD=AD；故△ACD≌△ADF，則AD是∠CAB的角平分線．
（2）因?yàn)椤螧=30°，所以∠CAB=60°；由（1）可知AD是∠CAB的平分線，故∠CAD=∠DAB=30°；在Rt△ADF中，∠DAB=30°，AF=2×4=8．根據(jù)三角函數(shù)值的定義可求出AD，AC的值．

解答：解：（1）連接DF，OD，則∠ADF=90°，
因?yàn)锽C是⊙O的切線，

所以∠CDA=∠DFA，△ACD≌△ADF，∠CAD=∠DAB．
即AD是∠CAB的角平分線．

（2）∵∠B=30°，
∴∠CAB=60°；由（1）可知AD是∠CAB的平分線，
故∠CAD=∠DAB=30°；在Rt△ADF中，∠DAB=30°，AF=2×4=8．
故AD=AF•cos30°=8×

3

2

=4

3

．
同理，AC=AD•cos30°=4

3

×

3

2

=6．故AD=4

3

．AC=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是直角三角形及切線的性質(zhì)，在解答此類題目時(shí)要注意添加輔助線，構(gòu)造直角三角形．