Question

如下圖，△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．

(1)求證：EO＝FO

(2)當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并說明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

如圖： (1)∵CE、CF分別是∠ACB、∠ACD的平分線． ∴∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF ∵MN∥BC ∴∠OEC＝∠ECB，∠OFC＝∠FCD ∴∠ACE＝∠OEC，∠ACF＝∠OFC ∴OE＝OC，OF＝OC ∴OE＝OF (2)當點O運動到AC的中點時，即OA＝OC 又由(1)證得OE＝OF ∴四邊形AECF是平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形) 由(1)知：∠ECA+∠ACF＝∠ACB+∠ACD＝ (∠ACB+∠ACD)＝90° 即∠ECF＝90° ∴四邊形AECF是矩形． 因此：當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．

提示：

如圖： (1)要證明OE＝OF，可借助第三條線段OC，即證：OE＝OC，OF＝OC，這兩對線段又分別在兩個三角形中，所以只需證△OEC、△OCF是等腰三角形，由已知條件即可證明． (2)假設四邊形AECF是矩形，則對角線互相平分且相等，四個角都是直角． 由已知可得到：∠ECF＝90°，由(1)可證得OE＝OF，所以要使四邊形AECF是矩形,只需OA＝OC．