Question

【題目】已知，，點(diǎn)在線段上，是直線上一點(diǎn)．

(1)如圖1，若，點(diǎn)在的延長線上，且．求證：；

(2)如圖2，若，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)與點(diǎn)，不重合)，矩形的頂點(diǎn)，分別在，上．探究與的關(guān)系，并給出證明；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)滿足什么條件時(shí)，線段的長最短?(直接給出結(jié)論，不必說明理由)

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），證明見解析；（3）點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，線段的值最小

【解析】

（1）過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，證明為等邊三角形，證明，證BE=AD；

（2）連接CD，證明是等腰直角三角形，證明，可證得所需結(jié)果；

（3）由，得DE，DF同時(shí)最短時(shí)，EF最短，此時(shí)可得P與D重合

證明：(1)過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，

．

是等邊三角形

，

，

是等邊三角形．

．

．

，

．

又，

，

，

，．

(2) ．

證明：連接．

是等腰直角三角形，， 點(diǎn)是的中點(diǎn)，

．

∵四邊形PECF是矩形，

，

是等腰直角三角形，

，

，

在和中，

(3)∵DE=DF，DEDF

∴

∴當(dāng)DE和DF同時(shí)最短時(shí)，EF最短

∴當(dāng)，時(shí)，二者最短

∴此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合

∴點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，線段EF最短．