Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線CM，D是CM上一點(diǎn)，連接BD，且∠DBC=∠CAB．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）連接OD，若∠ABC=30°，OA=4，求OD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）要證明BD是⊙O的切線，就是證明∠ABD=90°，通過(guò)直徑所對(duì)的圓周角是直角得到∠ACB=90°，再進(jìn)行角度代換即可．
（2）連DO，這也是常作的輔助線，再通過(guò)特殊角找到OD與OB的關(guān)系．

解答：解：（本題滿分6分）
（1）證明：
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°．
∵∠DBC=∠CAB，
∴∠DBC+∠ABC=90°，
即∠ABD=90°．
∴BD是⊙O的切線．（2分）

（2）解：連接OC，OD．
∵DC，DB是⊙O切線，
∴DC=DB．（3分）
∵OC=OB，
∴OD垂直平分BC，
∴∠DBC+∠BDE=90°；
∵∠DBC+∠ABC=90°，
∴∠BDE=∠ABC；
∵∠ABC=30°，
∴∠BDE=30°，（5分）
∴OB=

1

2

OD；
∵OB=OA=4，
∴OD=8．（6分）

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握運(yùn)用切線的判定定理證明圓的切線．學(xué)會(huì)圓的常見(jiàn)輔助線的作法．記住30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半．