Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，P是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與AB重合），過(guò)P分別作PM⊥AC，PN⊥BC，△AMP的面積是S₁，△PNB的面積是S₂，四邊形CMPN的面積是S₃，S₁+S₂與S₃之間有怎樣的關(guān)系？

Answer 1

分析：（1）首先假設(shè)P是AB的中點(diǎn)時(shí)求出S₁+S₂=S₃；（2）當(dāng)P不是中點(diǎn)時(shí)和圖形（1）比較利用平行線分線段成比例定理和矩形的面積公式求出S₁+S₂＞S₃，綜合（1）（2）即可得出答案．

解答：解：S₁+S₂與S₃之間的關(guān)系是S₁+S₂≥S₃．
理由是：（1）當(dāng)P是AB的中點(diǎn)Q時(shí)，過(guò)Q做QF⊥BC于F，QE⊥AC于E，連接CQ，
∵∠ACB=90°，
∴QF∥AC，QE∥BC，
∴E為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，
根據(jù)等底同高的三角形的面積相等，S_△AQE=S_△CQE，S_△CQF=S_△BQF，
∴S_△AQE+S_△BQF=S_△CQE+S_△CQF，
即：S₁+S₂=S₃．
（2）當(dāng)P不是AB的中點(diǎn)Q時(shí)，如圖：
∵QF⊥BC，QE⊥AC，PM⊥AC，PN⊥BC，
∴QE∥PM，PN∥QF，
∴

PQ

AQ

=

OP

OM

，

PQ

BP

=

OQ

PN

，
∵AQ=BQ＞BP，
∴

OP

OM

＜

OQ

PN

，
即：OP•PN＜OQ•OM，
∴S_{四邊形OPNF}＜S_{四邊形OQEM}，
∴S_{四邊形CNPM}＜S_{四邊形CEQF}，
即：S₃＜

1

2

S_△ABC
而S_△ABC=S₁+S₂+S₃，
∴S₃＜

1

2

S_△ABC=

1

2

（S₁+S₂+S₃）
∴S₃＜S₁+S₂，
綜合上述：S₁+S₂與S₃之間的關(guān)系是S₁+S₂≥S₃．
答：S₁+S₂與S₃之間的關(guān)系是S₁+S₂≥S₃．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了面積及等積變換，平行四邊形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，平行線分線段成比例定理等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是分類討論．題目較好，但有一定的難度．