Question

如圖，直線y=kx+6與x、y軸分別交于E、F．點(diǎn)E坐標(biāo)為（-8，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0），P（x，y）是直線y=kx+6上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求k的值；
（2）若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)的直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試寫出三角形OPA的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）探究：當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，三角形OPA的面積為

27

8

，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)E的坐標(biāo)（-8，0）代入直線y=kx+6，得到關(guān)于k的方程，解方程即可求出k的值；
（2）由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0）得到OA=6，求△OPA的面積時(shí)，可看作以O(shè)A為底邊，高是P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值．再根據(jù)三角形的面積公式表示出△OPA的面積，從而求出其關(guān)系式；根據(jù)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的范圍可求出自變量x的取值范圍；
（3）根據(jù)三角形的面積公式，由△OPA的面積為

27

8

，列出關(guān)于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y的方程，解方程求出y的值，再代入直線的解析式求出x的值，即可得到P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)E（-8，0）在直線y=kx+6上，
∴0=-8k+6，
∴k=

3

4

；

（2）∵k=

3

4

，
∴直線的解析式為：y=

3

4

x+6，
∵點(diǎn)P（x，y）是第二象限內(nèi)的直線y=

3

4

x+6上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴y=

3

4

x+6＞0，-8＜x＜0．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0），
∴OA=6，
∴S=

1

2

OA•|y_P|=

1

2

×6×（

3

4

x+6）=

9

4

x+18．
∴三角形OPA的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式為：S=

9

4

x+18（-8＜x＜0）；

（3）∵三角形OPA的面積=

1

2

OA•|y_P|=

27

8

，P（x，y），
∴

1

2

×6×|y|=

27

8

，
解得|y|=

9

8

，
∴y=±

9

8

．
當(dāng)y=

9

8

時(shí)，

9

8

=

3

4

x+6，
解得x=-

13

2

，故P（-

13

2

，

9

8

）；
當(dāng)y=-

9

8

時(shí)，-

9

8

=

3

4

x+6，
解得x=-

19

2

，故P（-

19

2

，-

9

8

）；
綜上可知，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（-

13

2

，

9

8

）或P（-

19

2

，-

9

8

）時(shí)，三角形OPA的面積為

27

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形面積公式的運(yùn)用，難度適中．注意第三問(wèn)中的點(diǎn)P（x，y）是直線y=kx+6上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，不能直接代入第二問(wèn)所求的函數(shù)解析式，否則漏解，這是本題容易弄錯(cuò)的地方．