Question

18．綜合與探究：如圖，拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（5，0）兩點，過點B作線段BC⊥x軸，交直線y=-2x于點C．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）求點B關于直線y=-2x的對稱點B′的坐標，判定點B′是否在拋物線上，并說明理由；
（3）點P是拋物線上一動點，過點P作y軸的平行線，交線段B′C于點D，是否存在這樣的點P，使四邊形PBCD是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點A、B的坐標代入拋物線的解析式，得到關于b、c的二元一次方程組，從而可解得b、c的值；
（2）過點B′作B′E⊥x軸于E，BB′與OC交于點F．由平行于y軸的直線上各點橫坐標相同可知點C的橫坐標為2，將x=2代入直線y=-2x的解析式可求得點C的坐標∵點B和B′關于直線y=-2x對稱，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得OC=5$\sqrt{5}$，然后利用面積法可求得BF=2$\sqrt{5}$．由軸對稱圖形的性質可知B′F=FB=4$\sqrt{5}$．由同角的余角相等可證明∠B′BE=∠BCF，從而可證明Rt△B′EB∽Rt△OBC，由相似三角形的性質可求得B′E=4，BE=8，故此可求得點B′的坐標為（-3，-4），然后可判斷出點B′在拋物線上；
（3）先根據題意畫出圖形，然后利用待定系數法求得B′C的解析式，設點P的坐標為（x，-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+x+$\frac{5}{4}$），則點D為（x，-$\frac{3}{4}x-\frac{25}{4}$），由平行四邊形的判定定理可知當PD=BC時．四邊形PBCD是平行四邊形，最后根據PD=BC列出關于x的方程即可求得點P的坐標

解答 解：（1）∵y=$-\frac{1}{4}$x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（5，0）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}-b+c=0}\\{-\frac{25}{4}+5b+c=0}\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+x+$\frac{5}{4}$．
（2）如圖，過點B′作B′E⊥x軸于E，BB′與OC交于點F．

∵BC⊥x軸，
∴點C的橫坐標為5．
∵點C在直線y=-2x上，
∴C（5，-10）．
∵點B和B′關于直線y=-2x對稱，
∴B′F=BF．
在Rt△ABC中，由勾股定理可知：OC=$\sqrt{O{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+1{0}^{2}}$=5$\sqrt{5}$．
∵S_△OBC=$\frac{1}{2}$OC•BF=$\frac{1}{2}$OB•BC，
∴5$\sqrt{5}$×BF=5×10．
∴BF=2$\sqrt{5}$．
∴BB′=4$\sqrt{5}$．
∵∠B′BE+∠B′BC=90°，∠BCF+∠B′BC=90°，
∴∠B′BE=∠BCF．
又∵∠B′EB=∠OBC=90°，
∴Rt△B′EB∽Rt△OBC．
∴$\frac{B′E}{OB}=\frac{BE}{BC}=\frac{BB′}{OC}$，即$\frac{B′E}{5}=\frac{BE}{10}=\frac{4\sqrt{5}}{5\sqrt{5}}$．
∴B′E=4，BE=8．
∴OE=BE-OB=3．
∴點B′的坐標為（-3，-4）．
當x=-3時，y=-$\frac{1}{4}$×（-3）²+$\frac{5}{4}$=-4．
所以，點B′在該拋物線上．
（3）存在．
理由：如圖所示：

設直線B′C的解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{5k+b+=-10}\\{-3k+b=-4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{25}{4}}\end{array}\right.$
∴直線B′C的解析式為y=$-\frac{3}{4}x-\frac{25}{4}$．
設點P的坐標為（x，-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+x+$\frac{5}{4}$），則點D為（x，-$\frac{3}{4}x-\frac{25}{4}$）．
∵PD∥BC，
∴要使四邊形PBCD是平行四邊形，只需PD=BC．又點D在點P的下方，
∴$-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+\frac{5}{4}$-（-$\frac{3}{4}x-\frac{25}{4}$）=10．．
解得x₁=2，x₂=5（不合題意，舍去）．
當x=2時，$-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+\frac{5}{4}$=$\frac{9}{4}$．
∴當點P運動到（2，$\frac{9}{4}$）時，四邊形PBCD是平行四邊形．

點評 本題主要考查的是二次函數綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求二次函數的解析式、勾股定理、軸對稱的性質、平行四邊形的判定，證得Rt△B′EB∽Rt△OBC，從而得到點B′的坐標是解決問題（2）的關鍵，依據平行四邊形的判定定理得到PD=BC，從而列出關于x的方程是解決問題（3）的關鍵．