Question

如圖，分別以△ABC的邊AB、AC向外作等邊△ABE和等邊△ACD，直線BD與直線CE相交于點(diǎn)O．

(1)求證：CE＝BD；

(2)如果當(dāng)點(diǎn)A在直線BC的上方變化位置，且保持∠ABC和∠ACB都是銳角，那么∠BOC的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變化，請(qǐng)求出∠BOC的度數(shù)：

(3)如果當(dāng)點(diǎn)A在直線BC的上方變化位置，且保持∠ACB是銳角，那么∠BOC的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)直接寫出變化的結(jié)論，不需說(shuō)明理由；若不變化，請(qǐng)直接寫明結(jié)論．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）不變化，∠BOC=120°；（3）變化，當(dāng)∠ABC＞120°時(shí)，∠BOC=60°， 當(dāng)∠ABC=120°時(shí)，∠BOC不存在，當(dāng)∠ABC＜120°時(shí)，∠BOC=120°.

【解析】

試題分析：（1）由△ABE和△ACD都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，AD=AC，利用等式的性質(zhì)得到∠EAC=∠BAD，利用SAS可得出△AEC≌△ABD，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得證. （2）∠BOC的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化，都為120°，由三角形ADC為等邊三角形，得到∠ADC=∠ACD=60°，再由（1）得到△AEC≌△ABD，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到∠ACE=∠ADB，由∠BOC為三角形OCD的外角，利用三角形的外角性質(zhì)及等量代換可得出∠BOC =∠ADC+∠ACD，可求出∠BOC的度數(shù)．（3）變化，分∠ABC＞120°，∠ABC=120°，∠ABC＜120°三種情況討論.

試題解析：（1）∵△ABE和△ACD都為等邊三角形，∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，AD=AC.

∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAD.

在△AEC和△ABD中，，

∴△AEC≌△ABD（SAS）.∴EC=BD.

（2）不變化，∠BOC=120°.

∵△ADC為等邊三角形，∴∠ADC=∠ACD=60°.

∵△AEC≌△ABD，∴∠ACE=∠ADB.

∵∠BOC為△COD的外角，

∴∠BOC=∠ODC+∠OCD=∠ODC+∠ACD+∠ACE=∠ODC+∠ADB+∠ACD

=∠ADC+∠ACD=120°.

（3）變化.

當(dāng)∠ABC＞120°時(shí)，∠BOC=60°；

當(dāng)∠ABC=120°時(shí)，∠BOC不存在；

當(dāng)∠ABC＜120°時(shí)，∠BOC=120°.

考點(diǎn)：1.等邊三角形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定和性質(zhì)；3.三角形外角性質(zhì)；4分類思想的應(yīng)用．