Question

如圖，⊙O的半徑為

3

，正三角形ABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），頂點(diǎn)A在⊙O上運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)點(diǎn)A在x軸上時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在直線AB與⊙O相切的位置關(guān)系？若存在，請求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x，△ABC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）需要分兩種情況討論，①點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸，②點(diǎn)A在x軸的正半軸，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)題意畫出圖形，①點(diǎn)A在上半圓上，②點(diǎn)A在下半圓上，

解答：（1）解：

（1）當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

3

，0）時(shí)，可得等邊三角形的邊長=2-

3

，
由等邊三角形的性質(zhì)可得C₁D=

2 3 -3

2

，A₁D=

2- 3

2

，
故可得點(diǎn)C₁的坐標(biāo)為（

2+ 3

2

，

2 3 -3

2

）；
同理：當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-

3

，0）時(shí)，點(diǎn)C₂的坐標(biāo)為（

2- 3

2

，

2 3 +3

2

）；
（2）連接OA，

①當(dāng)A點(diǎn)在x軸上方時(shí)，
∵直線AB與⊙O相切，
∴OA₁⊥AB，
∴∠OAB=90°，OB=2，OA₁=

3

，
∴sin∠OBA₁=

3

2

，A₁B=BC₁=1，
∴∠OBA₁=60°，
∴∠CBx=60°，
∴C1E=

3

2

，BE=

1

2

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)（

5

2

，

3

2

）．
②當(dāng)A點(diǎn)在x軸下方時(shí)，
∵∠OBA=60°，
∴C點(diǎn)在x軸上，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2-

3

，0）
（3）過點(diǎn)A作AE⊥OB于點(diǎn)E，

在Rt△OAE中，AE²=OA²-OE²=3-x²，
在Rt△BAE中，AB²=AE²+BE²=（3-x²）+（ 2-x）²=7-4x，
故S=

3

4

AB2=

3

4

(7-4x)=-

3

x+

7 3

4

，
其中-

3

≤x≤

3

，
當(dāng)x=-

3

時(shí)，S的最大值為3+

7 3

4

，
當(dāng)x=

3

時(shí)，S的最小值為-3+

7 3

4

．

點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理的知識，綜合考察的知識點(diǎn)較多，關(guān)鍵是仔細(xì)審題，仔細(xì)、逐步解答，難度較大．