Question

如圖①②，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的等邊△CDE恰好與坐標(biāo)系中的△OAB重合，現(xiàn)將△CDE繞邊AB的中點(diǎn)G（G點(diǎn)也是DE的中點(diǎn)），按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°到△C₁DE的位置．
（1）求C₁點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過三點(diǎn)O、A、C₁的拋物線的解析式；
（3）如圖③，⊙G是以AB為直徑的圓，過B點(diǎn)作⊙G的切線與x軸相交于點(diǎn)F，求切線BF的解析式；
（4）拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得S_△AMF：S_△OAB=16：3．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等邊三角形的性質(zhì)，可以求出．
（2）運(yùn)用待定系數(shù)法，代入二次函數(shù)解析式，即可求出．
（3）借助切線的性質(zhì)定理，直角三角形的性質(zhì)，求出F，B的坐標(biāo)即可求出解析式．
（4）當(dāng)M在x軸上方或下方，分兩種情況討論．

解答：解：（1）利用等邊三角形的性質(zhì)可得C₁（3，

3

）；

（2）∵拋物線過原點(diǎn)O（0，0），設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx，
把A（2，0），C′（3，

3

）代入，得

4a+2b=0 9a+3b= 3

，
解得a=

3

3

，b=-

2 3

3

，
∴拋物線解析式為y=

3

3

x²-

2 3

3

x；

（3）∵∠ABF=90°，∠BAF=60°，
∴∠AFB=30°，
又∵AB=2，
∴AF=4，
∴OF=2，
∴F（-2，0），
設(shè)直線BF的解析式為y=kx+b，
把B（1，

3

），F(xiàn)（-2，0）代入，得

k+b= 3 -2k+b=0

，
解得k=

3

3

，b=

2 3

3

，
∴直線BF的解析式為y=

3

3

x+

2 3

3

；

（4）①當(dāng)M在x軸上方時(shí)，存在M（x，

3

3

x²-

2 3

3

x），
S_△AMF：S_△OAB=[

1

2

×4×（

3

3

x²-

2 3

3

x）]：[

1

2

×2×

3

]=16：3，
得x²-2x-8=0，解得x₁=4，x₂=-2，
當(dāng)x₁=4時(shí)，y=

3

3

×4²-

2 3

3

×4=

8 3

3

，
當(dāng)x₁=-2時(shí)，y=

3

3

×（-2）²-

2 3

3

×（-2）=

8 3

3

，
∴M₁（4，

8 3

3

），M₂（-2，

8 3

3

）；
②當(dāng)M在x軸下方時(shí)，不存在，設(shè)點(diǎn)M（x，

3

3

x²-

2 3

3

x），
S_△AMF：S_△OAB=[-

1

2

×4×（

3

3

x²-

2 3

3

x）]：[

1

2

×2×

3

]=16：3，
得x²-2x+8=0，b²-4ac＜0無解，
綜上所述，存在點(diǎn)的坐標(biāo)為M₁（4，

8 3

3

），M₂（-2，

8 3

3

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，以及待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式和切線的性質(zhì)定理等，綜合性比較強(qiáng)．