Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線C1：y=ax2+bx-1經過點A（-2，1）和點B（-1，-1），拋物線C2：y=2x2+x+1，動直線x=t與拋物線C1交于點N，與拋物線C2交于點M．

（1）求拋物線C1的表達式；

（2）直接用含t的代數(shù)式表示線段MN的長；

（3）當△AMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時，求t的值；

（4）在（3）的條件下，設拋物線C1與y軸交于點P，點M在y軸右側的拋物線C2上，連接AM交y軸于點K，連接KN，在平面內有一點Q，連接KQ和QN，當KQ=1且∠KNQ=∠BNP時，請直接寫出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2＋x－1；（2）t2+2；（3）1或0；（4）Q點坐標為：（0，2）、（-1，3）、.

【解析】

（1）應用待定系數(shù)法；

（2）把x=t帶入函數(shù)關系式相減；

（3）根據(jù)圖形分別討論∠ANM=90°、∠AMN=90°時的情況．

（4）根據(jù)題意畫出滿足條件圖形，可以找到AN為△KNP對稱軸，由對稱性找到第一個滿足條件Q，再通過延長和圓的對稱性找到剩余三個點．利用勾股定理進行計算．

（1）∵拋拋物線C1：y＝ax2＋bx－1經過點A（－2，1）和點B（－1，－1），

∴，

解得，

∴拋拋物線C1的解析式為y＝x2＋x－1；

（2）∵動直線x=t與拋物線C1交于點N，與拋物線C2交于點M

∴點N的縱坐標為t2+t-1，點M的縱坐標為2t2+t+1

∴MN=（2t2+t+1）-（t2+t-1）=t2+2

（3）共分兩種情況

①當∠ANM=90°，AN=MN時，由已知N（t，t2+t-1），A（-2，1）

∴AN=t-（-2）=t+2

∵MN=t2+2

∴t2+2=t+2

∴t1=0（舍去），t2=1

∴t=1

②當∠AMN=90°，AM=MN時，由已知M（t，2t2+t+1），A（-2，1）

∴AM=t-（-2）=t+2，

∵MN=t2+2

∴t2+2=t+2

∴t1=0，t2=1（舍去）

∴t=0

故t的值為1或0

（4）由（3）可知t=1時M位于y軸右側，根據(jù)題意畫出示意圖如圖：

易得K（0，3），B、O、N三點共線

∵A（-2，1）N（1，1）P（0，-1）

∴點K、P關于直線AN對稱

設半徑為1的⊙K與y軸下方交點為Q2，則其坐標為（0，2）

∴Q2與點O關于直線AN對稱

∴Q2是滿足條件∠KNQ=∠BNP．

則NQ2延長線與⊙K交點Q1，Q1、Q2關于KN的對稱點Q3、Q4也滿足∠KNQ=∠BNP．

由圖形易得Q1（-1，3）

設點Q3坐標為（m，n），由對稱性可知Q3N=NQ1=BN=2

由∵⊙K半徑為1

∴

解得，．

同理，設點Q4坐標為（m，n），由對稱性可知Q4N=NQ2=NO=

∴

解得．

∴滿足條件的Q點坐標為：（0，2）、（-1，3）、