Question

【題目】如圖，等邊△ABC中，AB=2，AD⊥BC，以AD、CD為鄰邊做矩形ADCE，將△ADC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到△A′DC′使點(diǎn)A′落在CE上，連接AA′，CC′．

（1）求AD的長(zhǎng)；

（2）求證：△ADA′∽△CDC′；

（3）求CC′2的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

（1）利用等邊三角形的性質(zhì)得出∠DAB=30°，進(jìn)而求出BD，即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出，即可得出結(jié)論；

（3）先求出A'C，A'E，進(jìn)而利用勾股定理求出A'A2，即可得出結(jié)論．

（1）∵AD是等邊三角形ABC的高，

∴∠B=60°，∠ADB=90°，

∴∠DAB=30°，

∵AB=2，∴BD=AB=1，

∴AD=；

（2）由旋轉(zhuǎn)知，AD=A'D，CD=C'D，

∴，

由旋轉(zhuǎn)知，∠ADA'=∠CDC'，

∴△ADA'∽△CDC'；

（3）在矩形ABCD中，∠DCE=90°，A'D=AD=，AE=CD=1，

∴A'C=，

∴A'E=CE﹣A'C=AD﹣A'C=，

在Rt△AEA'中，A'A2=A'E2+A'E2=（）2+12=6﹣2，

∵△ADA'∽△CDC'，

∴，

∴CC'2．