Question

在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=9O°，AD、BE、CF是△ABC的三條內(nèi)角平分線．那么，△DEF的面積等于

 

．

Answer 1

分析：過(guò)F點(diǎn)作FQ⊥AC，過(guò)E點(diǎn)⊥作NE⊥AB，EM⊥BC，過(guò)D點(diǎn)作DH⊥AC．求證四邊形NBME是正方形，設(shè)NE=x₁，根據(jù)S_{四邊形NBME}+S_△ANE+S_△CEM=S_△ABC，解得x₁=

12

7

；設(shè)BF=x₂．根據(jù)S_△AFQ+2S_△BFC=S_△ABC，解得x₂=

4

3

，同理解得，x₃=

3

2

，然后利用∴S_△DEF=S_△ABC-S_△AEF-S_△BFD-S_△CDE，將所得數(shù)值代入即可．

解答：解：過(guò)F點(diǎn)作FQ⊥AC，過(guò)E點(diǎn)⊥作NE⊥AB，EM⊥BC，過(guò)D點(diǎn)作DH⊥AC．
設(shè)NE=x₁，
∵BE平分∠B，且∠B=9O°，
∴四邊形NBME是正方形，
則S_{四邊形NBME}+S_△ANE+S_△CEM=S_△ABC，
則x₁²+

1

2

x₁（4-x₁）+

1

2

x₁（3-x₁）=

1

2

×12，
解得，x₁=

12

7

；
設(shè)BF=x₂．根據(jù)CF是∠C平分線，可得△QFC≌△BFC，
則S_△AFQ+2S_△BFC=S_△ABC，
則

1

2

x₂×1+2（

1

2

x₂×4）=

1

2

×12，
解得，x₂=

4

3

，
則AF=AB-x₂=

5

3

；
設(shè)BD=x₃，
同理解得，x₃=

3

2

，
則CD=4-

3

2

=

5

2

，
∴S_△DEF=S_△ABC-S_△AEF-S_△BFD-S_△CDE
=

1

2

AB•BC-

1

2

AF•NE-

1

2

BF•FD-

1

2

CD•EM
=6-

1

2

（

5

3

×

12

7

）-

1

2

（

4

3

×

3

2

）-

1

2

（

5

2

×

12

7

）
=

10

7

．
故答案為：

10

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生對(duì)角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用，此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，需要做多條輔助線，計(jì)算步驟繁瑣，要特別仔細(xì)認(rèn)真，稍有疏忽就出錯(cuò)，屬于難題．