Question

在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在AB、AC上分別取點D、E，使線段DE將△ABC分成面積相等的兩部分，則這樣線段的最小值是

 

．

Answer 1

分析：過D作DF⊥AC，利用相似三角形的性質及三角形的面積公式可得出EF關于x的表達式，進而在RT△DEF中，用x表示DE，求出代數(shù)式的最小值即可求出線段的最小長度．

解答：解：∵BC²+AC²=AB²，
∴△ABC為直角三角形，
過D作DF⊥AC于F，設DF=x，則

x

5

=

AF

12

，
∴AF=

12

5

x，
∵S_△ADE=

1

2

x•AE=

1

2

S_△ABC=15，
∴AE=

30

x

，EF=

30

x

-

12

5

x，
∴DE²=DF²+EF²=x²+（

30

x

-

12

5

x）²=

169

25

x²+

900

x2

-144=（

13

5

x-

30

x

）²+12≥12，
故可得DE²最小值是12，
∴DE最小值為2

3

．
故答案為：2

3

．

點評：本題考查了面積及等積變換的知識，難度較大，解答本題關鍵點有兩點，①利用三角形的面積公式求出AE，然后表示出EF；②掌握完全平方式的非負性并能熟練運用，同學們要注意培養(yǎng)自己化簡求最值的能力．