Question

如圖1，點A是直線y=kx（k＞0，且k為常數(shù)）上一動點，以A為頂點的拋物線y=（x-h）²+m交直線y=x于另一點E，交y軸于點F，拋物線的對稱軸交x軸于點B，交直線EF于點C（點A，E，F(xiàn)兩兩不重合）。

（1）請寫出h與m之間的關系；（用含的k式子表示）
（2）當點A運動到使EF與x軸平行時（如圖2），求線段AC與OF的比值；
（3）當點A運動到使點F的位置最低時（如圖3），求線段AC與OF的比值。

Answer 1

解（1）∵拋物線頂點（h，m）在直線y=kx上，
∴m=kh；
（2）解方程組，
將（2）代入（1）得到：（x-h）²+kh=kx，
整理得：（x-h）[（x-h）-k]=0，
解得：x₁=h，x₂=k+h ，
代入到方程（2）y₁=hy₂=k²+hk
所以點E坐標是（k+h，k²+hk）
當x=0時，y=（x-h）²+m=h²+kh，
∴點F坐標是（0，h²+kh）
當EF和x軸平行時，點E，F(xiàn)的縱坐標相等，
即k²+kh=h²+kh
解得：h=k（h=-k舍去，否則E，F(xiàn)，O重合）
此時點E（2k，2k²），F(xiàn)（0，2k²），C（k，2k²），A（k，k²）
∴AC∶OF=k²∶2k²=1∶2；
 （3）當點F的位置處于最低時，其縱坐標h²+kh最小，
∵h²+kh=，
當h=，點F的位置最低，此時F（0，-）
解方程組得E（），A（）
設直線EF的解析式為y=px+q，將點E（），F(xiàn)（0，-）
的橫縱坐標分別代入得，解得：p=，q=-，
∴直線EF的解析式為，
當x=-時，y=-k²，即點C的坐標為（-，-k²），
∵點A（-），所以AC=，而OF=，
∴AC=2OF，即AC∶OF=2。