Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，6），并與x軸交于點(diǎn)B（-1，0）和點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)P．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)解析式；

（2）設(shè)D為x軸上一點(diǎn)，滿(mǎn)足∠DPC=∠BAC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）作直線(xiàn)AP，在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)M，在直線(xiàn)AP上是否存在點(diǎn)N，使AM+MN的值最小？若存在，求出M、N的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P（1，-2）；（2）點(diǎn)P（7，0）；（3）點(diǎn)N（-，）．

【解析】

（1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；
（2）利用S△ABC= ×AC×BH= ×BC×yA，求出sinα= ，則tanα= ，在△PMD中，tanα= = ，即可求解；
（3）作點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′（5，6），過(guò)點(diǎn)A′作A′N(xiāo)⊥AP分別交對(duì)稱(chēng)軸與點(diǎn)M、交AP于點(diǎn)N，此時(shí)AM+MN最小，即可求解．

（1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，

故：拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y=x2-x-，

令y=0，則x=-1或3，令x=0，則y=-，

故點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P（1，-2）；

（2）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸交于點(diǎn)G，

設(shè)：∠DPC=∠BAC=α，

由題意得：AB=2，AC=6，BC=4，PC=2，

S△ABC=×AC×BH=×BC×yA，

解得：BH=2，

sinα===，則tanα=，

由題意得：GC=2=PG，故∠PCB=45°，

延長(zhǎng)PC，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥PC交于點(diǎn)M，

則MD=MC=x，

在△PMD中，tanα===，

解得：x=2，則CD=x=4，

故點(diǎn)P（7，0）；

（3）作點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′（5，6），

過(guò)點(diǎn)A′作A′N⊥AP分別交對(duì)稱(chēng)軸與點(diǎn)M、交AP于點(diǎn)N，此時(shí)AM+MN最小，

直線(xiàn)AP表達(dá)式中的k值為：=-2，則直線(xiàn)A′N表達(dá)式中的k值為，

設(shè)直線(xiàn)A′N的表達(dá)式為：y=x+b，

將點(diǎn)A′坐標(biāo)代入上式并求解得：b=，

故直線(xiàn)A′N的表達(dá)式為：y=x+…①，

當(dāng)x=1時(shí)，y=4，

故點(diǎn)M（1，4），

同理直線(xiàn)AP的表達(dá)式為：y=-2x…②，

聯(lián)立①②兩個(gè)方程并求解得：x=-，

故點(diǎn)N（-，）．