Question

如圖，已知拋物線y=

1

6

x²-

1

6

（b+1）x+

b

6

（b是實(shí)數(shù)且b＞2）與x軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．若在第一象限內(nèi)存在點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于7

2

b，且△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．求：
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為

A（1，0）

．
（2）求符合要求的點(diǎn)P坐標(biāo)為

P（12

2

，12

2

）

．

Answer 1

分析：（1）對(duì)于拋物線解析式，令y=0得到關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，根據(jù)A與B的位置關(guān)系即可確定出A的坐標(biāo)；
（2）過P作PE垂直于x軸，過C作CD垂直于PE，利用AAS得出三角形PCD與三角形PBE全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到PE=CD，設(shè)P（x，x），即PE=CD=x，如圖所示，四邊形PCOB的面積=梯形OCPE的面積+直角三角形BPE的面積，令拋物線解析式中x為0表示出y，求出OC的長(zhǎng)，利用梯形及三角形面積公式列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）對(duì)于y=

1

6

x²-

1

6

（b+1）x+

b

6

，
令y=0，得到

1

6

x²-

1

6

（b+1）x+

b

6

=0，即x²-（b+1）x+b=0，
分解因式得：（x-1）（x-b）=0，
解得：x=1或x=b，
∵A在B的左邊，
∴A（1，0），B（b，0）；
（2）過P作PE⊥x軸，過C作CD⊥PE，
對(duì)于y=

1

6

x²-

1

6

（b+1）x+

b

6

，
令x=0，得到y(tǒng)=

b

6

，即OC=

b

6

，
∵△BCP為等腰直角三角形，
∴PC=PB，∠CPB=90°，
∴∠CPD+∠BPE=90°，
∵∠CPD+∠PCD=90°，
∴∠BPE=∠PCD，
在△CDP和△PEB中，

∠PDC=∠BEP=90° ∠PCD=∠BPE PC=PB

，
∴△CDP≌△PEB（AAS），
∴CD=PE，
設(shè)P（x，x），則有CD=PE=x，
∵S_{四邊形OCPB}=S_梯形OCPE+S_△PEB=

1

2

x（

b

6

+x）+

1

2

x（b-x）=7

2

b，
整理得：7x=84

2

，
解得：x=12

2

，
則P（12

2

，12

2

）．
故答案為：（1）A（1，0）；（2）P（12

2

，12

2

）

點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及梯形、三角形面積求法，根據(jù)題意得出CD=PE是解本題第二問的關(guān)鍵．