Question

平面直角坐標系中，原點到直線y=kx+b的距離公式為d=

|b|

k2+1

，根據(jù)這個公式解答下列問題：
（1）原點到直線y=-

4

3

x+4的距離為

 

．
（2）若原點到y(tǒng)=（1-k）x+2k的距離為該直線與y軸交點到原點距離的一半，則k=

 

．
（3）若（1）中的直線與y軸、x軸交于A、B兩點，直線AC與x軸交于C點，若∠ABC的鄰補角是∠ACB的鄰補角的2倍，求原點到直線AC的距離．

Answer 1

分析：（1）由題意，b=4，k=-

4

3

，代入公式，解答出即可；
（2）由題意，該直線與y軸交點到原點距離的一半，即當x=0時，y=2k的一半，所以

|2k|

(1-k)2+ 1

=|k|，解答出即可；
（3）作∠ABG的平分線BH，過A作AC′∥BH，根據(jù)邊角關系可得出OC′的長，則可得出OC的長，進而求出直線AC的解析式，代入公式即可求出距離．

解答：解：（1）∵b=4，k=-

4

3

，
∴d=

4

(- 4 3 )2+1

=

12

5

；

（2）根據(jù)題意得，

|2k|

(1-k)2+ 1

=|k|，
解得k=1±

3

；

（3）由題意得，點A（0，4），B（3，0），則AB=5，
如圖，∵∠ABC的鄰補角是∠ACB的鄰補角的2倍，
∴點C只能在線段OB上，2∠ACO=∠ABG，
作∠ABG的平分線BH，過A作AC′∥BH，
∴∠AC′C=∠HBG=∠ABH=∠C′AB=∠ACO，
∴BC′=AB=5，由OB=3，
∴OC′=2，
∵∠AC′C=∠ACO，
∴AC′=AC，又AO⊥CC′，
∴OC=OC′=2，
∴C（2，0），
∴直線AC的解析式為y=-2x+4，
∴d=

|4|

(-2)2+ 1

=

4 5

5

．

點評：本題主要考查了一次函數(shù)綜合題，點到直線的距離等知識，（3）小題中，作輔助線根據(jù)邊角關系得出OC的長，是解答的關鍵．