Question

我們知道，當一條直線與一個圓有兩個公共點時，稱這條直線與這個圓相交.類似地，我們定義：當一條直線與一個正方形有兩個公共點時，則稱這條直線與這個正方形相交.已知：如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點坐標分別為 O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1).

(1)判斷直線y＝x＋與正方形OABC是否相交，并說明理由；

(2)設(shè)d是點O到直線y＝－x＋b的距離，若直線y＝－x＋b與正方形OABC相交，求d的取值范圍.

Answer 1

解：(1)相交.                                                          (2分)

∵直線y＝x＋與線段OC交于點(0，)　同時                            (3分)

直線y＝x＋與線段CB交于點(，1)，                                  (4分)

∴直線y＝x＋與正方形OABC相交.

(2)當直線y＝－x＋b經(jīng)過點B時，

　 即有1＝－＋b，

∴b＝＋1.

即 y＝－x＋1＋.                                                  (5分)

記直線y＝－x＋1＋與x，y軸的交點分別為D，E.

則D(，0)，E(0,1＋).                                            (6分)

法1：在Rt△BAD中，tan∠BDA＝＝＝，

∴∠EDO＝60°， ∠OED＝30°.

過O作OF₁⊥DE，垂足為F₁，則OF₁＝d₁.                               (7分)

在Rt△OF₁E中，∵∠OED＝30°，

∴d₁＝.                                                         (8分)

法2：∴DE＝(3＋).

過O作OF₁⊥DE，垂足為F₁，則OF₁＝d₁.                                (7分)

∴d₁＝×(1＋)÷[(3＋)]

＝.                                                         (8分)

∵直線y＝－x＋b與直線y＝－x＋1＋平行.

法1：當直線y＝－x＋b與正方形OABC相交時，一定與線段OB相交，且交點不與點O，B重合.故直線y＝－

x＋b也一定與線段OF₁相交，記交點為F，則F不與點O，F₁重合，且OF＝d. (9分)

∴當直線y＝－x＋b與正方形相交時，

有0＜d＜.                                                      (10分)

法2：當直線y＝－x＋b與直線y＝x(x＞0)相交時，

有 x＝－x＋b，即x＝.

①當0＜b＜1＋時，0＜x＜1,0＜y＜1.

此時直線y＝－x＋b與線段OB相交，且交點不與點O，B重合.

②當b＞1＋時，x＞1，

此時直線y＝－x＋b與線段OB不相交.

而當b≤0時，直線y＝－x＋b不經(jīng)過第一象限，即與正方形OABC不相交.

∴當0＜b＜1＋時，直線y＝－x＋b與正方形OABC相交.               (9分)

此時有0＜d＜.                                                  (10分)