Question

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=12厘米，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿線路AB-BC作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從AC的中點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)沿線路DC-CB作勻速運(yùn)動(dòng)逐步靠近點(diǎn)P，設(shè)P，Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度分別為1厘米/秒、a厘米/秒（a＞1），它們?cè)趖秒后于BC邊上的某一點(diǎn)相遇．
（1）求出AC與BC的長(zhǎng)度；
（2）試問(wèn)兩點(diǎn)相遇時(shí)所在的E點(diǎn)會(huì)是BC的中點(diǎn)嗎？為什么？
（3）若以D，E，C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，試分別求出a與t的值．（

3

=1.732，結(jié)果精確到0.1）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件和三角函數(shù)就可以得出AC與BC的長(zhǎng)度；
（2）在t秒后，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為at，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為t，那么，BE=t-12，CE=at-12，這兩個(gè)式子相等的t的值不存在；
（3）以D，E，C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的不同可以分幾種情況進(jìn)行討論．當(dāng)過(guò)D點(diǎn)作DE₁∥AB時(shí)，△DCE₁∽△ACB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等就可以解出．當(dāng)過(guò)D點(diǎn)作DE₂⊥AC，交CB于E₂，則△DCE₂∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)易得結(jié)論．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=12厘米，
∴AC=2AB=24（厘米）．
BC=

3

AB=12

3

（厘米）．

（2）E點(diǎn)不會(huì)是BC的中點(diǎn)．
在t秒后，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為at，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為t，那么
BE=t-12，CE=at-12，
∵a＞1，
∴at-12＞t-12．
∴E點(diǎn)不會(huì)是BC的中點(diǎn)．

（3）若以D，E，C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，
當(dāng)過(guò)D點(diǎn)作DE₁∥AB，交CB于E₁
則△DCE₁∽△ACB時(shí)，

CE1

CB

=

CD

AC

=

1

2

∴E點(diǎn)是BC的中點(diǎn)．
但CE₁=at-12，BE₁=t-12，
∵a＞1，故at-12＞t-12，
即CE₁＞BE₁，與E點(diǎn)是BC的中點(diǎn)矛盾，
當(dāng)過(guò)D點(diǎn)作DE₂⊥AC，交CB于E₂
則△DCE₂∽△ABC

CE2

AC

=

CD

BC

=

12

12 3

=

3

3

，
∴CE₂=24×

3

3

=8

3

，
依題意得，

t-12=12 3 -8 3 at-12=8 3

，
解得

t=12+4 3 ≈18.9 a= 3 +1 2 ≈1.4

．
∴t=18.9秒，a=1.4厘米/秒．

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)綜合題，有一定的難度，主要考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)．