Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，若BC=16，DC=12，AD=21，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，在線段AD上以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)D，B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABQP是直角梯形；
（3）是否存在以B，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出AP=BQ，再根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，得出PD=2t，BQ=t，從而得出AP=21-2t，解出t的值，即可得出答案；
（2）先過點(diǎn)B作BE⊥AD，根據(jù)AD和BC的值求出AE，再根據(jù)BQ=EP=t，AP=2t得出5+t=2t，求出t的值即可；
（3）過點(diǎn)P作PF⊥BC，分三種情況進(jìn)行討論，若PB=PQ，則BF=FQ=

1

2

t，得出5+

1

2

t=21-2t；若PB=PQ，則BP=t，得出12²+（16-2t）²=t²，然后進(jìn)行整理，判斷出△＜0，此情況不成立；若PQ=BQ，則PQ=t，求出FQ的值，再根據(jù)勾股定理得出12²+（3t-16）²=t²，然后進(jìn)行整理得出△＜0，此情況不成立．

解答：解：（1）若四邊形ABQP是平行四邊形，則AP=BQ，
∵PD=2t，BQ=t，AD=21，
∴AP=21-2t，則21-2t=t，
解得：t=7，
∴當(dāng)t為7秒時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形；
（2）如圖，過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E，
∵AD=21，BC=16，
∴AE=21-16=5，
∵BQ=EP=t，AP=21-2t，
∴5+t=21-2t，解得：t=

16

3

，
∴當(dāng)t為

16

3

秒時(shí)，四邊形ABQP是直角梯形；
（3）存在；
如圖，過點(diǎn)P作PF⊥BC，垂足為F，
若PB=PQ，則BF=FQ=

1

2

t，
∵AE=5，EP=BF=

1

2

t，
∴5+

1

2

t=21-2t，解得：t=

32

5

，
如圖：若PB=PQ，則BP=t，
∵BC=ED=16，DP=2t，
∴EP=16-2t，
又∵EB=DC=12，
∴12²+（16-2t）²=t²，
整理得：3t²-64t+400=0，
∵△=64²-4×3×400＜0，
∴此情況不成立；
若PQ=BQ，則PQ=t，
∵CF=PD=2t，CQ=BC-BQ=16-t，
∴FQ=CF-CQ=2t-（16-t）=3t-16，
∵PF=DC=12，
∴12²+（3t-16）²=t²，
整理得：t²-12t+50=0，
∵△=12²-4×1×50＜0，
∴此情況不成立；
綜上所述，

32

5

秒時(shí)，△BPQ是等腰三角形．

點(diǎn)評：此題考查了四邊形的綜合，用到的知識點(diǎn)是平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、直角梯形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，注意分類討論的思想．