Question

（本題12分）如圖，兩個同樣大小的等邊△ABC和△ACD，邊長為a，它們拼成一個菱形ABCD，另一個足夠大的等邊△AEF繞點A旋轉(zhuǎn)，AE與BC相交于點M，AF與CD相交于點N。

小題1:（1）證明：∠DAN=∠CAM;
小題2:（2）求四邊形AMCN的面積；
小題3:（3）探索△AMN何時面積最小，并寫出這個最小面積的值.

Answer 1

小題1:（1）證明：（略）
小題2:（2）四邊形AMCN的面積為
小題3:（3）當AM⊥BC時，△AMN的面積最小，最小面積為

分析：
（1）由△ABC和△ACD，△AEF都是等邊三角形，得到∠DAC=∠FAE=60°，得到∠DAN=∠CAM；
（2）由（1）和等邊三角形的性質(zhì)得到∠DAN=∠CAM，AD=AC，∠D=∠ACB=60°，則△ADN≌△ACM，于是有S四邊形AMCN的面積=S△ABC=；
（3）由（2）得AN=AM，再根據(jù)三角形的面積公式得S△AMN=1/2AM?AN?sin∠NAM=1/2
AM2?sin60°=/4×AM²，當AM最小時，S△AMN最小，即AM為BC邊上的高，而AM=/2a，即可得到△AMN面積最小值。
解答：
（1）證明：∵△ABC和△ACD，△AEF都是等邊三角形，
∴∠DAC=∠FAE=60°，
∴∠DAN=∠CAM；
（2）∵∠DAN=∠CAM，AD=AC，∠D=∠ACB=60°，
∴△ADN≌△ACM，
∴S四邊形AMCN的面積=S△ABC=。
（3）∵△ADN≌△ACM，
∴AN=AM，
∴S△AMN=1/2AM?AN?sin∠NAM=AM2?sin60°=/4×AM²，
當AM最小時，S△AMN最小，即AM為BC邊上的高，
∴AM=/2a，
∴△AMN面積最小值=/4×3/4×a2=3/16a²。
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)以及它的面積公式。