Question

已知拋物線y=kx²+2kx-3k，交x軸于A、B兩點（A在B的左邊），交y軸于C點，且y有最大值4．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在點P，使△PBC是直角三角形？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵y有最大值4，
∴y=kx²+2kx-3k=k（x+1）²-4k，
∴-4k=4，
解得k=-1，
∴y=-x²-2x+3，
答：拋物線的解析式是y=-x²-2x+3．

（2）根據(jù)直角的可能性分三種情況：
①當(dāng)∠C=90°時，作PC⊥BC交拋物線于P點，并做PD⊥y軸于D點，
設(shè)P（x，-x²-2x+3），
∵△OBC∽△DCP，
∴，
即，
∴x₁=0（舍去），，
∴；
②當(dāng)∠B=90°時，作PB⊥BC交拋物線于P點，并作PE⊥x軸于點E，
設(shè)P（x，-x²-2x+3），
∵△OBC∽△EPB，
∴，
即，
∴x₁=1（舍去），，
∴；
③當(dāng)∠P=90°時，點P應(yīng)在以BC為直徑的圓周上，
如圖，與拋物線無交點，故不存在，
綜上所述，這樣的點P有兩個：，P₂（-，-），
答：在拋物線上存在點P，使△PBC是直角三角形，P點坐標(biāo)是（-，）或（-，-）．
分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的最值得到且k＜0，求出k即可；
（2）①當(dāng)∠C=90°時，作PC⊥BC交拋物線于P點，并做PD⊥y軸于D點，設(shè)P（x，-x²-2x+3），根據(jù)△OBC∽△DCP，得到，代入求出即可；②當(dāng)∠B=90°時，作PB⊥BC交拋物線于P點，并作PE⊥x軸于點E，設(shè)P（x，-x²-2x+3），根據(jù)△OBC∽△EPB，得到，代入求出即可；③當(dāng)∠P=90°時，點P應(yīng)在以BC為直徑的圓周上，根據(jù)圖象得出結(jié)論．
點評：本題主要考查對二次函數(shù)的最值，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，直角三角形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能根據(jù)性質(zhì)求出符合條件的所有情況是解此題的關(guān)鍵．