Question

如圖，C（0，3），過(guò)點(diǎn)C開口向下的拋物線交x軸于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊），已知∠CBA=45°，tanA=3；
（1）求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求拋物線解析式及拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）E（0，m）為y軸上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合）
①當(dāng)直線EB與△BCD外接圓相切時(shí)，求m的值；
②指出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠DEC與∠DBC的大小關(guān)系及相應(yīng)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)可以求出OC的長(zhǎng)度，根據(jù)CO的長(zhǎng)度和∠CBA=45°，tanA=3通過(guò)解直角三角形可以得出OB、OA的長(zhǎng)度從而求出A、B的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)A、B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式，然后轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式就可以求出頂點(diǎn)坐標(biāo)D．
（3）①通過(guò)勾股定理可以證明△BDC為直角三角形，當(dāng)直線EB與△BCD外切時(shí)EB⊥BD，利用三角形相似可以求出OE的長(zhǎng)來(lái)確定E點(diǎn)的坐標(biāo)而確定m的值．
②通過(guò)情況討論當(dāng)點(diǎn)E在C點(diǎn)的上方和下方來(lái)分別計(jì)算比較，∠DEC與∠DBC的大小，確定相應(yīng)的m的取值范圍．

解答：解：（1）∵C（0，3）
∴OC=3
∵∠CBA=45°
∴OC=OB=3
∵tanA=3
∴

OC

OA

=3，即

3

OA

=3
∴OA=1
∴A（1，O），B（-3，0）

（2）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x+3）
把C（0，3）代入得-3a=3
∴a=-1
∴y=-（x-1）（x+3）
y=-x²-2x+3
∴-

b

2a

=-1，

4ac-b2

4a

=4
∴D（-1，4）

（3）①作DH⊥y軸于H，則DH=1，CH=OH-OC=1
由勾股定理得：CD=

2

，CD²=2
在△BOC中，由勾股定理得，BC=

2

OC
∴BC=3

2

，BC²=18
在Rt△BDF中，BF=BO-OF=2，DF=4，由勾股定理得；
BD=2

5

∴DB²=20
在△BCD中∴CD²+BC²=DB²
∴△BCD是直角三角形．
∴BD是△BCD的外接圓的直徑
∵BE與△BCD的外接圓相切
∴BE⊥BD
∴∠DBE=90°
∴∠EBO=∠BDF
∴△BDF∽△EBO
∴

OE

BF

=

OB

DF

即

OE

2

=

3

4

∴OE=

3

2

∴E（0，-

3

2

）
即m=-

3

2

②當(dāng)點(diǎn)E在C點(diǎn)的上方時(shí)，當(dāng)∠DEC=∠DBC時(shí)，
∵∠DHE=∠DCB=90°
∴△DEH∽△DBC
∴

EH

DH

=

BC

DC

=3
∴EH=3，OE=EH+HO=7
∴E（0，7）
∴當(dāng)m=7時(shí)，∠DEC=∠DBC
當(dāng)m＞時(shí)，∠DEC＜∠DBC
當(dāng)m＜7時(shí)，∠DEC＞∠DBC
點(diǎn)E在C下方時(shí)，同理可得當(dāng)∠DEC=∠DBC時(shí)，EH=3
∴此時(shí)OE=4-3=1
∴E（0，1）
∴當(dāng)m=1時(shí)，∠DEC=∠DBC
當(dāng)1＜m＜3時(shí)，∠DEC＞∠DBC
當(dāng)m＜1時(shí)，∠DEC＜∠DBC
綜上所述得：m＞7或m＜1時(shí)，∠DEC＜∠DBC
m=7或m=1時(shí)，∠DEC=∠DBC
1＜m＜7且m≠3時(shí)，∠DEC＞∠DBC

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了利用解直角三角形求線段的長(zhǎng)度來(lái)求點(diǎn)的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，頂點(diǎn)式的運(yùn)用，勾股定理及其逆定理的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．